Filsafat Matematika
Ontologi, Epistemologi, dan Metodologi
Alihkan ke: Matematika.
Sejarah Matematika, Logika Matematika.
Abstrak
Artikel ini menguraikan kajian komprehensif tentang
filsafat matematika sebagai refleksi mendalam atas dasar, makna, dan
nilai dari rasionalitas manusia. Melalui pendekatan ontologis,
epistemologis, dan aksiologis, artikel ini menelusuri bagaimana matematika,
sejak zaman Yunani Kuno hingga era digital, tidak sekadar berfungsi sebagai
sistem simbol formal, tetapi juga sebagai ekspresi kesadaran dan kreativitas
manusia terhadap keteraturan realitas. Secara ontologis, matematika
dipahami sebagai struktur rasional yang eksis secara relasional — menjembatani
dunia empiris dan dunia ide. Secara epistemologis, ia merupakan hasil
dialog antara logika deduktif, intuisi kognitif, dan praktik sosial ilmiah yang
berkembang secara historis. Sementara itu, secara aksiologis, matematika
memuat nilai-nilai universal seperti keindahan, kebenaran, dan tanggung jawab
moral, yang menjadikannya bagian dari kebudayaan manusia dan bukan semata
instrumen teknologis.
Artikel ini juga menelaah dimensi logika dan
bahasa sebagai fondasi komunikasi matematis, serta dimensi ilmiah dan
interdisipliner yang menjadikan matematika basis bagi seluruh pengetahuan
modern, dari fisika hingga ilmu sosial. Kritik terhadap paradigma
klasik—terutama Platonisme, Logisisme, Formaisme, dan Intuisionisme—menunjukkan
keterbatasannya dalam menjelaskan dimensi fenomenologis, sosial, dan historis
dari praktik matematis. Pada era digital, matematika mengalami transformasi
menjadi kekuatan ontologis baru melalui algoritme, big data, dan kecerdasan
buatan, yang menuntut refleksi etis terhadap peran manusia di tengah dominasi
komputasi.
Sebagai sintesis, artikel ini menawarkan gagasan “Humanisme
Matematis”, yaitu pemahaman bahwa matematika adalah bentuk rasionalitas
yang hidup — menyatukan presisi logis, nilai etis, dan makna estetis dalam satu
horizon kemanusiaan. Humanisme matematis mengarahkan matematika untuk tidak
berhenti pada kepastian simbolik, melainkan berfungsi sebagai jalan menuju
kebijaksanaan (sapientia) yang memadukan logika dan cinta kebijaksanaan.
Dengan demikian, filsafat matematika bukan hanya membahas angka dan bentuk,
tetapi menyingkap makna terdalam dari berpikir sebagai manusia: berpikir secara
tepat, adil, dan bermakna.
Kata Kunci: Filsafat Matematika; Ontologi; Epistemologi; Aksiologi;
Logika; Humanisme Matematis; Etika Digital; Rasionalitas; Algoritme; Kebenaran.
PEMBAHASAN
Eksplorasi Konseptual dalam Filsafat Matematika
1.
Pendahuluan
Filsafat matematika merupakan cabang reflektif dari
filsafat yang berupaya menelaah dasar ontologis, epistemologis, dan aksiologis
dari matematika sebagai bentuk tertinggi dari pemikiran rasional manusia. Sejak
masa Yunani Kuno, matematika telah dianggap sebagai paradigma pengetahuan yang
paling murni dan pasti, karena bersandar pada deduksi logis dan abstraksi
universal. Bagi Plato, dunia matematis mencerminkan realitas ide yang abadi dan
tidak berubah, sedangkan bagi Aristoteles, matematika memperoleh maknanya dari
abstraksi terhadap realitas empiris yang terindera.¹ Perbedaan pandangan
tersebut menandai awal dari perdebatan mendasar tentang apakah objek matematis
memiliki eksistensi independen atau sekadar konstruksi mental manusia.
Dalam konteks modern, matematika menjadi bahasa
universal ilmu pengetahuan, memungkinkan formulasi hukum-hukum alam, model
ekonomi, hingga sistem logika komputasional.² Namun demikian, kemajuan
formalisme dan simbolisme matematis di abad ke-19 hingga ke-20 menimbulkan
pertanyaan baru: apakah matematika semata-mata sistem simbol tanpa makna
metafisik, ataukah ia tetap memiliki kandungan realitas yang bersifat
ontologis?³ Pergeseran ini mengubah arah filsafat matematika dari sekadar
refleksi metafisik menjadi penyelidikan kritis terhadap dasar logis dan
epistemik pengetahuan matematis.
Secara ontologis, filsafat matematika
mempertanyakan hakikat keberadaan entitas matematis—angka, ruang, fungsi, atau
himpunan—yang tampak tidak berwujud tetapi memiliki daya realitas dalam setiap
bentuk pengetahuan ilmiah.⁴ Epistemologinya membahas bagaimana manusia memperoleh
kepastian tentang kebenaran matematis: apakah melalui rasio murni, intuisi
apriori, atau hasil konstruksi sosial dan linguistik.⁵ Sementara secara
aksiologis, filsafat matematika berusaha menyingkap nilai-nilai yang terkandung
di dalam praktik matematis: keindahan, kesederhanaan, konsistensi, dan
kebenaran universal.⁶ Dengan demikian, filsafat matematika tidak hanya
berbicara tentang struktur rasional, melainkan juga tentang makna kemanusiaan
di balik penalaran simbolik.
Di era digital, matematika mengalami transformasi
ontologis dan epistemologis yang signifikan. Algoritme, komputasi, dan model
matematis kini tidak hanya menggambarkan dunia, tetapi juga menciptakan
realitas baru dalam bentuk simulasi dan kecerdasan buatan.⁷ Kondisi ini
menuntut pendekatan filosofis yang lebih humanistik untuk memahami implikasi
etis dan eksistensial dari rasionalitas matematis modern.⁸ Dengan demikian,
filsafat matematika tidak lagi cukup dipahami sebagai refleksi abstrak atas
angka dan rumus, melainkan sebagai medan dialog antara logika, etika, dan makna
eksistensial manusia dalam semesta rasional yang semakin terotomatisasi.
Akhirnya, kajian ini bertujuan untuk menelusuri
hakikat matematika dari tiga aspek utama: (1) Ontologi — tentang
realitas entitas matematis dan hubungan mereka dengan dunia empiris; (2)
Epistemologi — tentang sumber dan metode pengetahuan matematis; dan (3)
Aksiologi — tentang nilai-nilai epistemik, estetis, dan etis dalam praktik
matematis. Dengan kerangka ini, diharapkan pembahasan dapat memperlihatkan
bahwa matematika bukan sekadar instrumen logika, melainkan juga ekspresi
terdalam dari kemampuan manusia untuk berpikir secara rasional, reflektif, dan
bermakna.
Footnotes
[1]
Plato, The Republic, trans. Allan Bloom (New
York: Basic Books, 1968), 509d–511e; Aristotle, Metaphysics, trans. W.
D. Ross (Oxford: Clarendon Press, 1908), Book XIII.
[2]
Galileo Galilei, Il Saggiatore (Rome:
Accademia dei Lincei, 1623), 32–34.
[3]
Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic,
trans. J. L. Austin (Evanston: Northwestern University Press, 1980), §62–68.
[4]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 15–18.
[5]
Immanuel Kant, Critique of Pure Reason,
trans. Paul Guyer and Allen W. Wood (Cambridge: Cambridge University Press,
1998), A713/B741–A722/B750.
[6]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 42–45.
[7]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 17–20.
[8]
Luciano Floridi, The Ethics of Information
(Oxford: Oxford University Press, 2013), 201–205.
2.
Landasan
Historis dan Genealogis Filsafat Matematika
Perjalanan historis filsafat matematika
memperlihatkan dinamika panjang antara rasionalitas, ontologi, dan epistemologi
dalam memahami hakikat bilangan, bentuk, dan struktur. Sejak awal kemunculannya
di Yunani Kuno, matematika bukan hanya dianggap sebagai ilmu hitung (arithmētikē)
atau geometri (geōmetria), melainkan juga sebagai jalan menuju kebenaran
metafisik.¹ Bagi para filsuf pra-Sokratik, seperti Pythagoras, angka bukan
sekadar alat untuk mengukur dunia, tetapi esensi dari segala sesuatu.² Ia
memandang bahwa harmoni kosmos didasarkan pada relasi matematis, suatu
pandangan yang kemudian dikenal sebagai “mystical arithmetic”—yakni
keyakinan bahwa struktur dunia dapat dijelaskan melalui proporsi numerik yang
teratur.³
Plato mengangkat pemikiran Pythagoras ke tingkat
ontologis dengan menempatkan objek matematis sebagai bagian dari dunia ide yang
abadi dan tak berubah.⁴ Dalam Republic dan Timaeus, ia menegaskan
bahwa entitas matematis memiliki eksistensi yang lebih tinggi daripada realitas
fisik, karena bersifat universal, tetap, dan dapat dipahami oleh akal.⁵ Sebaliknya,
Aristoteles menolak pandangan bahwa objek matematis berdiri sendiri secara
metafisik; baginya, konsep seperti “lingkaran sempurna” hanyalah hasil
abstraksi intelektual dari benda-benda yang ada di dunia nyata.⁶ Pertentangan
antara Platonisme dan Aristotelianisme ini menjadi fondasi bagi seluruh
perdebatan ontologis dalam filsafat matematika hingga hari ini.
Pada masa modern, René Descartes memperkenalkan
dimensi baru dengan menyatukan matematika dan rasionalisme. Dalam La
Géométrie, ia memformulasikan metode koordinat yang memungkinkan
penggabungan antara aljabar dan geometri, menciptakan paradigma baru dalam cara
berpikir ilmiah yang deduktif dan analitik.⁷ Sementara itu, Gottfried Wilhelm
Leibniz memandang matematika sebagai ekspresi dari rasionalitas Tuhan, di mana
simbol dan logika mencerminkan harmoni ciptaan yang teratur.⁸ Berbeda dari
mereka, Immanuel Kant menegaskan bahwa kebenaran matematis bersifat synthetic
a priori—yakni tidak berasal dari pengalaman empiris, tetapi juga tidak
sepenuhnya analitik, sebab ia menambah pengetahuan baru melalui intuisi ruang
dan waktu.⁹ Dengan demikian, Kant menempatkan matematika sebagai fondasi
epistemologis bagi seluruh ilmu pengetahuan.
Abad ke-19 hingga awal abad ke-20 menandai revolusi
dalam filsafat matematika melalui munculnya tiga aliran besar: logisisme,
formalisme, dan intuisionisme. Logisisme, dipelopori oleh Gottlob
Frege, Bertrand Russell, dan Alfred North Whitehead, berupaya menurunkan
seluruh konsep matematika dari prinsip-prinsip logika murni, sebagaimana tampak
dalam Principia Mathematica.¹⁰ Sebaliknya, formalisme yang
dikembangkan oleh David Hilbert menolak dimensi ontologis dan menekankan bahwa
matematika hanyalah sistem simbol dengan aturan permainan logis yang harus
konsisten.¹¹ Adapun intuisionisme, yang dipelopori oleh L. E. J.
Brouwer, menolak baik logisisme maupun formalisme, dengan menegaskan bahwa
kebenaran matematis adalah hasil konstruksi mental yang intuitif, bukan entitas
objektif di luar pikiran manusia.¹²
Krisis dasar matematika (foundational crisis)
yang muncul pada paruh pertama abad ke-20—terutama setelah paradoks Russell dan
teorema ketaklengkapan Gödel—mengguncang kepercayaan terhadap fondasi absolut
matematika.¹³ Kurt Gödel menunjukkan bahwa dalam setiap sistem formal yang cukup
kompleks, terdapat proposisi yang benar namun tidak dapat dibuktikan di dalam
sistem itu sendiri, sehingga impian Hilbert tentang sistem matematika yang
lengkap dan konsisten secara internal menjadi mustahil.¹⁴ Peristiwa ini
menandai lahirnya fase baru dalam genealoginya: matematika tidak lagi dipandang
sebagai sistem tertutup dan final, melainkan sebagai jaringan terbuka dari
penalaran manusia yang terus berkembang.
Pada era kontemporer, refleksi historis ini
berkembang menuju pluralisme filosofis. Pemikir seperti Imre Lakatos mencoba
menjembatani antara sejarah dan logika melalui Proofs and Refutations,
dengan memandang matematika sebagai proses evolusioner yang terbuka terhadap
revisi dan koreksi.¹⁵ Begitu pula para filsuf seperti Penelope Maddy dan
Stewart Shapiro mengembangkan realisme struktural dan naturalisme matematis,
yang berupaya memahami matematika sebagai bagian dari praktik ilmiah manusia
yang konkret.¹⁶ Genealogi ini menunjukkan bahwa filsafat matematika telah
berevolusi dari mistisisme numerik menuju refleksi kritis atas dasar
rasionalitas ilmiah—sebuah perjalanan panjang dari angka menuju makna.
Footnotes
[1]
Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and
Deductive Structure in Euclid’s Elements (Cambridge: MIT Press, 1981), 3–6.
[2]
Walter Burkert, Lore and Science in Ancient
Pythagoreanism (Cambridge: Harvard University Press, 1972), 28–31.
[3]
Thomas Heath, A History of Greek Mathematics
(Oxford: Clarendon Press, 1921), 54–57.
[4]
Plato, Timaeus, trans. Donald J. Zeyl
(Indianapolis: Hackett, 2000), 29b–30c.
[5]
Plato, The Republic, trans. Allan Bloom (New
York: Basic Books, 1968), 509d–511e.
[6]
Aristotle, Metaphysics, trans. W. D. Ross
(Oxford: Clarendon Press, 1908), Book XIII.
[7]
René Descartes, La Géométrie, trans. David
Eugene Smith and Marcia Latham (Chicago: Open Court, 1954), 1–3.
[8]
Gottfried Wilhelm Leibniz, Philosophical Papers
and Letters, ed. Leroy E. Loemker (Dordrecht: Reidel, 1969), 230–233.
[9]
Immanuel Kant, Critique of Pure Reason,
trans. Paul Guyer and Allen W. Wood (Cambridge: Cambridge University Press,
1998), A713/B741–A722/B750.
[10]
Bertrand Russell and Alfred North Whitehead, Principia
Mathematica, vol. 1 (Cambridge: Cambridge University Press, 1910), vii–xv.
[11]
David Hilbert, “The Foundations of Mathematics,” in
From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, ed.
Jean van Heijenoort (Cambridge: Harvard University Press, 1967), 464–479.
[12]
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Collected Works,
vol. 1, ed. Arend Heyting (Amsterdam: North-Holland, 1975), 33–37.
[13]
Gregory H. Moore, Zermelo’s Axiom of Choice: Its
Origins, Development, and Influence (New York: Springer, 1982), 92–96.
[14]
Kurt Gödel, On Formally Undecidable Propositions
of Principia Mathematica and Related Systems, trans. Jean van Heijenoort
(New York: Dover, 1992), 7–12.
[15]
Imre Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic
of Mathematical Discovery (Cambridge: Cambridge University Press, 1976),
1–5.
[16]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 24–29.
3.
Ontologi:
Hakikat Keberadaan Entitas Matematis
Pertanyaan ontologis dalam filsafat matematika
menyentuh inti terdalam dari eksistensi: apakah objek matematis benar-benar
ada, dan jika ya, dalam bentuk apakah keberadaannya? Sejak awal sejarah
filsafat, persoalan ini menimbulkan perdebatan antara dua kutub besar — realisme
matematis dan antirealisme matematis — yang masing-masing menawarkan
penjelasan berbeda mengenai status ontologis bilangan, himpunan, fungsi, dan
struktur.¹
3.1.
Realisme Matematis: Eksistensi
Independen dari Pikiran
Realisme matematis berakar pada tradisi Platonik,
yang menganggap bahwa objek matematis memiliki eksistensi mandiri di dunia ide
yang transenden dan tidak berubah.² Bagi Plato, bilangan, garis, dan bentuk
geometri bukanlah hasil ciptaan manusia, melainkan entitas yang “ditemukan”
oleh intelek melalui perenungan rasional.³ Dunia matematis, menurutnya,
memiliki ontologi yang lebih tinggi daripada dunia empiris, karena ia bersifat
abadi, universal, dan bebas dari perubahan.⁴ Pandangan ini kemudian dihidupkan
kembali oleh para pemikir modern seperti Kurt Gödel dan Roger Penrose, yang
berpendapat bahwa struktur matematis memiliki realitas objektif yang dapat
diakses oleh intuisi rasional manusia.⁵
Namun, realisme matematis menimbulkan problem
metafisik yang serius: bagaimana manusia dapat “berhubungan” dengan
entitas non-fisik yang berada di luar ruang dan waktu?⁶ Jika objek matematis
benar-benar ada secara independen, maka harus ada semacam jembatan
epistemologis antara dunia rasional manusia dan dunia ide. Gödel menjawab
persoalan ini dengan menyatakan bahwa intuisi matematis memiliki status
kognitif yang analog dengan persepsi empiris, yakni suatu “penglihatan
intelektual” terhadap kebenaran abstrak.⁷ Penrose menambahkan bahwa
keberadaan pola matematis mendasari baik dunia fisik maupun kesadaran manusia,
membentuk trinitas ontologis antara mathematical world, physical
world, dan mental world.⁸
3.2.
Antirealisme dan Konstruktivisme: Matematika
sebagai Buatan Pikiran
Berlawanan dengan realisme, para antirealis dan
konstruktivis menolak pandangan bahwa objek matematis memiliki eksistensi
independen. Bagi mereka, bilangan dan konsep matematis tidak “ada” sebelum
ditemukan, melainkan diciptakan melalui aktivitas intelektual manusia.⁹
Tokoh sentral dalam pandangan ini adalah L. E. J. Brouwer, yang mengembangkan intuisionisme
dengan menegaskan bahwa kebenaran matematis bergantung pada konstruksi mental
individu, bukan pada entitas abstrak di luar pikiran.¹⁰ Dalam kerangka ini,
matematika menjadi ekspresi aktivitas subjek, bukan representasi dari dunia
eksternal.
Konstruktivisme kontemporer juga menemukan gema
dalam filsafat bahasa Ludwig Wittgenstein, yang melihat makna konsep matematis
sebagai hasil dari praktik linguistik dalam komunitas.¹¹ Objek matematis, dalam
pandangan ini, tidak memiliki keberadaan metafisik, melainkan eksistensi
fungsional dalam permainan bahasa (language games).¹² Dengan demikian,
kebenaran matematis bersifat intersubjektif, bukan objektif mutlak — ia
bergantung pada aturan, konteks, dan konsensus pengguna bahasa matematis.¹³
3.3.
Nominalisme dan Strukturalisme:
Upaya Menengah
Selain dua kutub ekstrem tersebut, terdapat
pendekatan nominalisme dan strukturalisme yang mencoba memberikan
jalan tengah terhadap problem ontologis matematika. Nominalisme, yang diwakili
oleh tokoh seperti Hartry Field, menolak eksistensi entitas abstrak sama
sekali.¹⁴ Ia berupaya “menyusun ulang” matematika tanpa mengasumsikan
keberadaan bilangan atau himpunan sebagai entitas riil, melainkan sekadar alat
konseptual untuk menjelaskan dunia fisik.¹⁵ Dalam Science Without Numbers,
Field berargumen bahwa teori fisika dapat diformulasikan tanpa komitmen
terhadap realitas matematika.¹⁶
Sementara itu, strukturalisme matematis —
sebagaimana dikembangkan oleh Michael Resnik dan Stewart Shapiro — berpendapat
bahwa yang “ada” dalam matematika bukanlah objek individual seperti
angka, melainkan struktur hubungan di antara mereka.¹⁷ Dalam pandangan ini, “dua”
bukanlah entitas yang berdiri sendiri, tetapi posisi dalam struktur relasional
yang membentuk sistem bilangan.¹⁸ Dengan demikian, ontologi matematika bergeser
dari entitas ke relasi, dari benda ke pola. Pandangan ini sering disebut
sebagai ontologi relasional, yang memungkinkan sinkronisasi antara
abstraksi matematis dan fenomena empiris tanpa menuntut eksistensi metafisik
yang terpisah.¹⁹
3.4.
Menuju Ontologi Relasional dan
Naturalistik
Dalam perkembangan mutakhir, muncul kecenderungan
untuk memahami ontologi matematika secara relasional dan naturalistik,
yakni menempatkan entitas matematis sebagai bagian dari dunia alami dan praktik
ilmiah manusia.²⁰ Ontologi ini menolak dikotomi kaku antara ideal dan material,
serta menekankan bahwa struktur matematis muncul dari interaksi kognitif
manusia dengan dunia.²¹ Hal ini sejalan dengan pendekatan embodied cognition,
yang melihat bahwa kemampuan matematis berakar pada pengalaman sensorimotor dan
persepsi spasial.²² Dengan demikian, entitas matematis tidak lagi dipahami
sebagai benda yang “ada di luar sana”, melainkan sebagai hasil interaksi
reflektif antara rasio, tubuh, dan dunia.
Ontologi relasional membuka kemungkinan baru bagi
filsafat matematika untuk bersifat lebih humanistik — di mana kebenaran matematis
tidak terlepas dari konteks eksistensial manusia, tetapi justru merupakan
ekspresi tertinggi dari kesadaran akan keteraturan realitas.²³ Dalam pandangan
ini, matematika menjadi jembatan antara logos dan kosmos: antara
bahasa logika dan tatanan alam semesta.
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 1–5.
[2]
Plato, The Republic, trans. Allan Bloom (New
York: Basic Books, 1968), 509d–511e.
[3]
Julia Annas, An Introduction to Plato’s Republic
(Oxford: Clarendon Press, 1981), 241–243.
[4]
Plato, Timaeus, trans. Donald J. Zeyl
(Indianapolis: Hackett, 2000), 29b–30c.
[5]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 17–19.
[6]
Penelope Maddy, Realism in Mathematics
(Oxford: Oxford University Press, 1990), 11–14.
[7]
Kurt Gödel, Collected Works, vol. 2, ed.
Solomon Feferman (Oxford: Oxford University Press, 1990), 268–271.
[8]
Roger Penrose, Shadows of the Mind: A Search for
the Missing Science of Consciousness (Oxford: Oxford University Press,
1994), 417–421.
[9]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 41–44.
[10]
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Collected Works,
vol. 1, ed. Arend Heyting (Amsterdam: North-Holland, 1975), 33–37.
[11]
Ludwig Wittgenstein, Philosophical
Investigations, trans. G. E. M. Anscombe (Oxford: Blackwell, 1953),
§185–§242.
[12]
Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations
of Mathematics, ed. G. H. von Wright et al. (Cambridge: MIT Press, 1978),
45–49.
[13]
Crispin Wright, Frege’s Conception of Numbers as
Objects (Aberdeen: Aberdeen University Press, 1983), 212–215.
[14]
Hartry Field, Science Without Numbers: A Defence
of Nominalism (Princeton: Princeton University Press, 1980), 7–9.
[15]
Hartry Field, Realism, Mathematics and Modality
(Oxford: Blackwell, 1989), 2–5.
[16]
Field, Science Without Numbers, 23–25.
[17]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 2–6.
[18]
Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics:
Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 10–12.
[19]
James Ladyman, Every Thing Must Go: Metaphysics
Naturalized (Oxford: Oxford University Press, 2007), 121–125.
[20]
Penelope Maddy, Defending the Axioms: On the Philosophical
Foundations of Set Theory (Oxford: Oxford University Press, 2011), 97–100.
[21]
Otávio Bueno, “Empirical Adequacy: A Partial
Structuralist View,” Philosophy of Science 64, no. 4 (1997): 551–573.
[22]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
(New York: Basic Books, 2000), 28–31.
[23]
Elaine Landry, Categories for the Working
Philosopher (Oxford: Oxford University Press, 2017), 202–205.
4.
Epistemologi:
Sumber dan Struktur Pengetahuan Matematis
Epistemologi matematika berupaya menjawab
pertanyaan fundamental: bagaimana manusia mengetahui kebenaran matematis,
dan apa dasar legitimasi pengetahuan tersebut? Masalah ini berkaitan dengan
hubungan antara rasio, intuisi, dan pengalaman dalam membangun pengetahuan yang
bersifat universal, pasti, dan bebas dari kontingensi empiris.¹ Sejarah
pemikiran menunjukkan bahwa matematika telah lama menjadi model ideal bagi
pengetahuan ilmiah karena kepastian dan koherensi deduktifnya. Namun, justru
karena sifatnya yang aprioris dan abstrak, epistemologi matematika menghadapi
tantangan untuk menjelaskan bagaimana kebenaran yang tak terikat pada
pengalaman empiris dapat memiliki relevansi terhadap dunia nyata.
4.1.
Rasionalisme dan Apriorisme:
Pengetahuan sebagai Deduksi Murni
Tradisi rasionalisme yang bermula dari Plato hingga
Descartes menegaskan bahwa pengetahuan matematis bersumber dari akal murni (pure
reason) dan tidak bergantung pada pengalaman.² Bagi Plato, kebenaran
matematika merupakan hasil dari anamnesis — ingatan jiwa terhadap dunia ide
yang sempurna.³ Descartes melanjutkan gagasan ini dengan menempatkan
pengetahuan matematis sebagai paradigma bagi kepastian epistemik, sebab deduksi
logis memberikan kejelasan (claritas) dan distingsi (distinctio)
yang tidak dimiliki oleh pengetahuan empiris.⁴ Dengan demikian, pengetahuan
matematis dianggap apriori dan niscaya; ia tidak memerlukan pembuktian dari
pengalaman melainkan mendasari seluruh struktur penalaran ilmiah.
Immanuel Kant memberikan formulasi epistemologis
yang berpengaruh dengan konsep synthetic a priori.⁵ Ia menolak pandangan
empiris bahwa pengetahuan matematis hanyalah hasil generalisasi, dan juga
menolak pandangan rasionalis ekstrem yang menganggapnya murni analitik.⁶
Menurut Kant, kebenaran matematis bersifat sintetik karena menambah pengetahuan
baru, tetapi sekaligus apriori karena berakar pada struktur intuisi ruang dan
waktu yang membentuk pengalaman manusia.⁷ Dalam hal ini, geometri bersumber
dari intuisi ruang, sedangkan aritmetika bersumber dari intuisi waktu —
keduanya merupakan bentuk apriori kesadaran yang menjadikan pengalaman
mungkin.⁸ Dengan demikian, matematika bagi Kant adalah hasil konstruksi aktif
subjek transendental, bukan penyalinan realitas eksternal.
4.2.
Empirisisme dan Pengalaman sebagai
Dasar Pengetahuan
Sebaliknya, kaum empiris seperti John Stuart Mill
berpendapat bahwa prinsip-prinsip matematika berasal dari generalisasi
pengalaman berulang.⁹ Menurut Mill, proposisi matematika seperti “2 + 2 = 4”
tidak berbeda secara epistemologis dari proposisi ilmiah lainnya; ia diperoleh
dari pengamatan yang sering diulang dan karenanya memiliki tingkat keyakinan
yang tinggi.¹⁰ Namun, pendekatan ini dikritik karena gagal menjelaskan
universalitas dan niscayanya kebenaran matematis: tidak ada jumlah observasi
yang dapat memberikan kepastian logis sebagaimana yang dimiliki oleh deduksi
matematis.¹¹
Meskipun demikian, varian empirisme modern
berkembang dalam bentuk naturalism epistemologis.¹² Dalam pandangan ini,
seperti yang dikemukakan oleh Quine dan Putnam, pengetahuan matematis tidak
terpisah dari keseluruhan jaringan pengetahuan ilmiah; kebenaran matematis
diverifikasi secara tidak langsung melalui keberhasilan teori ilmiah yang
menggunakannya.¹³ Artinya, kepastian matematika bersifat holistik dan
pragmatis, tergantung pada fungsi dan koherensinya dalam sistem ilmiah yang
lebih luas.
4.3.
Intuisionisme dan Konstruktivisme:
Pengetahuan sebagai Aktivitas Mental
Epistemologi konstruktivis yang dipelopori oleh L.
E. J. Brouwer memandang matematika sebagai aktivitas konstruksi mental yang
bersifat subjektif.¹⁴ Kebenaran matematis tidak ditemukan, melainkan dibangun
oleh intuisi internal manusia.¹⁵ Dalam pandangan ini, proposisi matematika
hanya benar jika dapat dikonstruksi secara eksplisit oleh subjek; maka hukum
logika klasik seperti principium tertii exclusi (hukum nonkontradiksi
absolut) tidak selalu berlaku dalam konteks konstruktif.¹⁶
Perkembangan lebih lanjut datang dari Hermann Weyl
dan Arend Heyting, yang menafsirkan intuisionisme sebagai upaya mengembalikan
dasar epistemologis matematika pada kesadaran manusia.¹⁷ Konstruktivisme modern
menegaskan bahwa pengetahuan matematis bersifat context-dependent, yakni
hasil dari prosedur dan aturan yang disepakati dalam komunitas rasional.¹⁸
Dengan demikian, matematika tidak lagi bersifat absolut melainkan
intersubjektif — kebenarannya terletak pada kejelasan langkah konstruksi dan
konsistensi inferensi.
4.4.
Logisisme dan Formaisme: Pengetahuan
sebagai Sistem Simbolik
Kaum logisis seperti Frege, Russell, dan Whitehead
berusaha mendasarkan seluruh pengetahuan matematis pada logika murni.¹⁹ Dalam
kerangka ini, pengetahuan matematis bersifat apriori karena seluruh teorema
dapat diturunkan dari aksioma logis melalui aturan inferensi.²⁰ Namun, proyek
ini menemui batasnya ketika muncul paradoks-paradoks seperti paradoks Russell
dan kemudian teorema ketaklengkapan Gödel, yang menunjukkan bahwa tidak semua
kebenaran matematis dapat dibuktikan dalam sistem formal yang konsisten.²¹
Formalisme, sebagaimana dikembangkan oleh David
Hilbert, mencoba mengatasi krisis ini dengan memandang pengetahuan matematis
sebagai manipulasi simbol tanpa perlu makna metafisik.²² Dalam kerangka
formalistik, validitas pengetahuan matematis diukur melalui konsistensi internal,
bukan melalui hubungan dengan realitas eksternal.²³ Walaupun pendekatan ini
memperkuat aspek metodologis matematika, ia mengabaikan aspek semantik dan
intuisi makna yang tetap diperlukan dalam pemahaman simbol.²⁴
4.5.
Pendekatan Kontemporer: Epistemologi
Relasional dan Sosial
Dalam filsafat kontemporer, muncul pandangan bahwa
pengetahuan matematis tidak dapat dipahami secara terisolasi dari praktik
ilmiah dan sosial.²⁵ Epistemologi matematis kini bergeser ke arah social
epistemology dan embodied cognition.²⁶ Lakoff dan Núñez menunjukkan
bahwa konsep matematis berakar pada pengalaman tubuh dan persepsi spasial
manusia; misalnya, gagasan tentang bilangan dan operasi muncul dari tindakan
menghitung, mengelompokkan, atau membandingkan objek fisik.²⁷ Pengetahuan matematis
dengan demikian merupakan hasil proses kognitif yang berinteraksi dengan dunia
nyata.
Selain itu, epistemologi sosial matematika
menekankan bahwa validitas suatu bukti matematis tidak hanya bergantung pada
logika formal, tetapi juga pada penerimaan komunitas ilmiah.²⁸ Kebenaran
matematis bersifat intersubjektif — hasil kesepakatan rasional dalam
komunitas yang diikat oleh norma epistemik seperti kejelasan, konsistensi, dan
replikabilitas.²⁹ Dalam pandangan ini, matematika menjadi bentuk rasionalitas
komunikatif yang melibatkan dimensi manusiawi dari berpikir bersama, bukan
sekadar deduksi individu.
Sintesis:
Menuju Epistemologi Integral
Epistemologi matematika kontemporer cenderung
mengarah pada integrasi antara rasionalitas formal dan pengalaman empirik,
antara deduksi simbolik dan intuisi kognitif.³⁰ Pengetahuan matematis tidak
lagi dianggap semata apriori atau empiris, melainkan transendental-relasional:
muncul dari struktur rasio manusia yang berinteraksi dengan realitas melalui
simbol, bahasa, dan pengalaman.³¹ Dengan demikian, matematika berfungsi sebagai
jembatan antara pengetahuan dan dunia — antara yang ideal dan yang faktual —
melalui struktur reflektif yang terus berkembang.³²
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 41–45.
[2]
Plato, The Republic, trans. Allan Bloom (New
York: Basic Books, 1968), 510d–511e.
[3]
Julia Annas, An Introduction to Plato’s Republic
(Oxford: Clarendon Press, 1981), 242–244.
[4]
René Descartes, Meditations on First Philosophy,
trans. John Cottingham (Cambridge: Cambridge University Press, 1996),
Meditation II.
[5]
Immanuel Kant, Critique of Pure Reason,
trans. Paul Guyer and Allen W. Wood (Cambridge: Cambridge University Press,
1998), A713/B741–A722/B750.
[6]
Paul Guyer, Kant and the Claims of Knowledge
(Cambridge: Cambridge University Press, 1987), 274–278.
[7]
Henry Allison, Kant’s Transcendental Idealism
(New Haven: Yale University Press, 1983), 141–145.
[8]
Kant, Critique of Pure Reason,
A163/B204–A165/B206.
[9]
John Stuart Mill, A System of Logic (London:
Parker, 1843), Book II, Ch. V.
[10]
Ibid., 182–184.
[11]
Bertrand Russell, Our Knowledge of the External
World (Chicago: Open Court, 1914), 53–55.
[12]
W. V. Quine, “Epistemology Naturalized,” in Ontological
Relativity and Other Essays (New York: Columbia University Press, 1969),
69–90.
[13]
Hilary Putnam, Mathematics, Matter and Method,
2nd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 1979), 347–349.
[14]
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Collected Works,
vol. 1, ed. Arend Heyting (Amsterdam: North-Holland, 1975), 33–37.
[15]
Arend Heyting, Intuitionism: An Introduction
(Amsterdam: North-Holland, 1956), 1–5.
[16]
Michael Dummett, Elements of Intuitionism
(Oxford: Clarendon Press, 1977), 57–60.
[17]
Hermann Weyl, Philosophy of Mathematics and
Natural Science (Princeton: Princeton University Press, 1949), 43–47.
[18]
Thomas Tymoczko, ed., New Directions in the
Philosophy of Mathematics (Princeton: Princeton University Press, 1998),
128–130.
[19]
Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic,
trans. J. L. Austin (Evanston: Northwestern University Press, 1980), §62–68.
[20]
Bertrand Russell and Alfred North Whitehead, Principia
Mathematica, vol. 1 (Cambridge: Cambridge University Press, 1910), vii–xv.
[21]
Kurt Gödel, On Formally Undecidable Propositions
of Principia Mathematica and Related Systems, trans. Jean van Heijenoort
(New York: Dover, 1992), 7–12.
[22]
David Hilbert, “The Foundations of Mathematics,” in
From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, ed.
Jean van Heijenoort (Cambridge: Harvard University Press, 1967), 464–479.
[23]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 15–18.
[24]
Hao Wang, From Mathematics to Philosophy
(London: Routledge, 1974), 202–205.
[25]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 41–44.
[26]
Helen Longino, The Fate of Knowledge
(Princeton: Princeton University Press, 2002), 75–77.
[27]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
(New York: Basic Books, 2000), 28–31.
[28]
Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing,
Risk, and Trust (Cambridge: MIT Press, 2001), 18–22.
[29]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 87–90.
[30]
Otávio Bueno and Øystein Linnebo, “New Waves in
Philosophy of Mathematics,” in New Waves in Philosophy of Mathematics,
ed. Bueno and Linnebo (Basingstoke: Palgrave Macmillan, 2009), 1–5.
[31]
Mark Steiner, Mathematical Knowledge
(Ithaca: Cornell University Press, 1975), 45–47.
[32]
Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics:
Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 121–125.
5.
Aksiologi:
Nilai dan Tujuan dalam Filsafat Matematika
Dimensi aksiologis filsafat matematika berhubungan
dengan pertanyaan mengenai nilai, tujuan, dan makna dari aktivitas
matematis bagi manusia dan peradaban. Jika ontologi menjawab apa yang ada
dan epistemologi menjelaskan bagaimana kita mengetahui, maka aksiologi
menelaah mengapa matematika bernilai — baik secara kognitif, etis,
estetis, maupun eksistensial.¹ Filsafat matematika tidak hanya mengkaji
keabsahan kebenaran formal, tetapi juga menelusuri nilai-nilai yang menjiwai
praktik matematis dan dampaknya terhadap kemanusiaan serta kehidupan sosial.
5.1.
Nilai Epistemik: Kebenaran,
Konsistensi, dan Kesederhanaan
Nilai-nilai epistemik dalam matematika berkaitan
dengan kriteria internal bagi kebenaran dan keindahan logis dari teori.
Matematika dianggap sebagai bentuk pengetahuan tertinggi karena menjunjung konsistensi,
koherensi, dan kesederhanaan dalam struktur deduktifnya.² Euclid
dalam Elements menjadi simbol dari keanggunan intelektual — bahwa
kejelasan dan keteraturan logis merupakan bentuk tertinggi dari nilai
kognitif.³
Nilai kebenaran dalam matematika bersifat
otonom, tidak bergantung pada verifikasi empiris, tetapi pada pembuktian
deduktif yang sahih.⁴ Dengan demikian, kebenaran matematis lebih menyerupai “kejelasan
rasional” ketimbang “kecocokan empiris.” Dalam hal ini, filsafat
matematika menjadi penjaga integritas rasionalitas itu sendiri, memastikan
bahwa setiap proposisi berdiri di atas dasar logis yang tak tergoyahkan.⁵
Selain kebenaran, kesederhanaan (simplicity)
juga dianggap bernilai tinggi dalam matematika. Sebuah teori matematika yang
elegan sering kali lebih dihargai daripada teori yang rumit meskipun sama-sama
benar.⁶ Seperti diungkapkan oleh Bertrand Russell, “keindahan matematika
terletak pada kesederhanaan yang tak terelakkan dari kebenarannya.”⁷ Dengan
demikian, nilai epistemik dalam matematika mengandung unsur estetis — kebenaran
dan keindahan bersatu dalam bentuk kesempurnaan rasional.
5.2.
Nilai Estetis: Keindahan Abstraksi
dan Harmoni Logis
Sejak Pythagoras, matematika telah dipahami sebagai
ekspresi dari keindahan kosmos.⁸ Harmoni bilangan, simetri bentuk, dan
keteraturan rasional dianggap sebagai manifestasi keindahan yang universal.
Para filsuf dan matematikawan besar — dari Plato hingga Dirac — menegaskan
bahwa keindahan bukanlah pelengkap dalam matematika, melainkan indikator
kebenaran itu sendiri.⁹
Roger Penrose menegaskan bahwa pengalaman estetik
dalam matematika adalah pengalaman intelektual terhadap keteraturan metafisis
alam semesta.¹⁰ Ketika seorang matematikawan menemukan bukti yang indah, yang
sederhana namun dalam, ia mengalami “pencerahan rasional” — bentuk
tertinggi dari intellectual joy.¹¹ Nilai estetis ini tidak bersifat
subjektif, melainkan intersubjektif, karena seluruh komunitas ilmiah dapat
merasakan dan menilai keindahan yang sama melalui struktur logis yang serupa.¹²
Keindahan matematika juga berperan sebagai motivasi
epistemik: ia mendorong pencarian harmoni dan simetri sebagai tanda keteraturan
realitas.¹³ Dalam konteks ini, nilai estetis memiliki fungsi heuristik —
membantu menemukan kebenaran baru karena keindahan sering kali berfungsi
sebagai “kompas epistemik.”¹⁴
5.3.
Nilai Etis dan Moral: Tanggung Jawab
dalam Aplikasi Matematika
Matematika tidak bebas nilai secara etis, karena
setiap penerapan logika dan model matematis memiliki implikasi moral terhadap
kehidupan manusia.¹⁵ Dalam dunia modern, matematika menjadi dasar bagi
teknologi, ekonomi, dan algoritme yang membentuk keputusan sosial-politik.¹⁶
Oleh karena itu, filsafat matematika memiliki tanggung jawab etis untuk
meninjau bagaimana struktur rasional yang diciptakan manusia dapat memengaruhi
kebebasan, keadilan, dan kesejahteraan.
Kecerdasan buatan, misalnya, bekerja berdasarkan
model matematis yang tampak netral tetapi sesungguhnya mengandung bias nilai
dan asumsi sosial.¹⁷ Ketika algoritme digunakan untuk menentukan kebijakan
publik, penilaian risiko kriminal, atau akses ekonomi, maka matematika menjadi
instrumen kekuasaan yang memiliki dimensi moral.¹⁸ Dalam kerangka aksiologis,
matematika tidak hanya harus benar secara formal, tetapi juga adil secara
etis.¹⁹
Sebagaimana dinyatakan oleh Luciano Floridi dalam The
Ethics of Information, nilai matematis di era digital harus dibimbing oleh
prinsip kebaikan epistemik (epistemic good) dan tanggung jawab moral
terhadap dampak informasi yang dihasilkan.²⁰ Dengan demikian, aksiologi
matematika modern tidak lagi berhenti pada keindahan deduktif, tetapi
berkembang menjadi etika praktis bagi masyarakat algoritmik.
5.4.
Nilai Humanistik: Matematika sebagai
Ekspresi Rasionalitas Manusia
Selain nilai epistemik dan etis, matematika juga
memiliki nilai humanistik, karena ia merupakan ekspresi tertinggi dari
potensi rasional manusia.²¹ Kegiatan matematis mengandung nilai-nilai seperti
disiplin berpikir, ketekunan, imajinasi, dan penghormatan terhadap keteraturan
alam.²² Dalam pandangan humanistik, matematika bukan sekadar alat untuk
menguasai dunia, tetapi cara manusia memahami dirinya sebagai makhluk rasional
yang mencari makna melalui keteraturan.
Albert Einstein menulis bahwa “hal yang paling
tidak dapat dipahami tentang alam semesta adalah bahwa alam semesta dapat
dipahami,” menandakan bahwa keteraturan matematis adalah jendela bagi
kesadaran manusia untuk mengenali dirinya di dalam dunia.²³ Matematika, dengan
demikian, bukan sekadar bahasa logika, melainkan bahasa eksistensial yang
menghubungkan rasio manusia dengan tatanan kosmos.²⁴
Pendekatan humanistik ini sejalan dengan visi filsafat
matematika integral, yang berusaha menyatukan nilai-nilai rasional, etis,
dan estetis dalam satu kerangka makna.²⁵ Dengan memahami matematika sebagai
aktivitas reflektif yang berakar pada pengalaman manusia, kita tidak hanya
memandangnya sebagai instrumen sains, tetapi sebagai bentuk kebudayaan
rasional yang mengandung nilai kemanusiaan mendalam.
Tujuan
Filsafat Matematika: Menuju Rasionalitas Bernilai
Tujuan akhir filsafat matematika, dalam perspektif
aksiologis, bukan hanya menjelaskan dasar kebenaran matematis, tetapi
menegaskan makna keberadaannya bagi kehidupan manusia.²⁶ Matematika
berfungsi ganda: secara instrumental, ia menyediakan alat berpikir yang
memungkinkan kemajuan teknologi dan ilmu pengetahuan; secara intrinsik,
ia menumbuhkan kebajikan intelektual seperti kejujuran logis, ketekunan, dan
keterbukaan terhadap kebenaran.²⁷
Dengan demikian, tujuan filsafat matematika bukan
hanya menemukan kebenaran abstrak, melainkan juga membimbing rasionalitas
menuju nilai-nilai kemanusiaan yang lebih tinggi.²⁸ Ia menjadi filsafat tentang
logos yang beretika — rasionalitas yang tidak kehilangan orientasi moral
dan estetisnya. Aksiologi matematika, dalam hal ini, memulihkan hubungan antara
akal dan kebaikan, antara struktur dan makna, antara pengetahuan dan
kebijaksanaan.²⁹
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 83–85.
[2]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 12–15.
[3]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L. Heath
(Cambridge: Cambridge University Press, 1908), Book I, Prologue.
[4]
Bertrand Russell, Introduction to Mathematical
Philosophy (London: Allen & Unwin, 1919), 5–7.
[5]
Hilary Putnam, Mathematics, Matter and Method,
2nd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 1979), 357–359.
[6]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 122–125.
[7]
Bertrand Russell, Mysticism and Logic
(London: Longmans, Green and Co., 1917), 59.
[8]
Walter Burkert, Lore and Science in Ancient
Pythagoreanism (Cambridge: Harvard University Press, 1972), 28–31.
[9]
Paul Dirac, Directions in Physics (New York:
Wiley, 1978), 48.
[10]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 17–19.
[11]
Penrose, Shadows of the Mind: A Search for the
Missing Science of Consciousness (Oxford: Oxford University Press, 1994),
421–423.
[12]
Elaine Landry, Categories for the Working
Philosopher (Oxford: Oxford University Press, 2017), 205–208.
[13]
Mark Steiner, Mathematical Knowledge
(Ithaca: Cornell University Press, 1975), 55–58.
[14]
James R. Brown, Philosophy of Mathematics: A
Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures (London:
Routledge, 2008), 91–94.
[15]
Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing,
Risk, and Trust (Cambridge: MIT Press, 2001), 18–22.
[16]
Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction: How
Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy (New York: Crown,
2016), 3–6.
[17]
Virginia Eubanks, Automating Inequality: How
High-Tech Tools Profile, Police, and Punish the Poor (New York: St.
Martin’s Press, 2018), 42–46.
[18]
Shoshana Zuboff, The Age of Surveillance
Capitalism (New York: PublicAffairs, 2019), 93–97.
[19]
Luciano Floridi, The Ethics of Information
(Oxford: Oxford University Press, 2013), 201–205.
[20]
Ibid., 210–213.
[21]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
(New York: Basic Books, 2000), 34–37.
[22]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 87–90.
[23]
Albert Einstein, quoted in Gerald Holton, Thematic
Origins of Scientific Thought (Cambridge: Harvard University Press, 1973),
244.
[24]
Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure
and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 121–125.
[25]
Elaine Landry and Jean-Pierre Marquis, “Categories
in Context,” Philosophia Mathematica 13, no. 3 (2005): 345–375.
[26]
Philip Davis and Reuben Hersh, The Mathematical
Experience (Boston: Birkhäuser, 1981), 15–18.
[27]
Paul Ernest, “Mathematics and Human Values,” For
the Learning of Mathematics 3, no. 2 (1983): 39–42.
[28]
Mark Johnson, Moral Imagination: Implications of
Cognitive Science for Ethics (Chicago: University of Chicago Press, 1993),
147–149.
[29]
Roger Penrose, The Emperor’s New Mind
(Oxford: Oxford University Press, 1989), 321–325.
6.
Dimensi
Logika dan Bahasa
Matematika, pada hakikatnya, adalah bahasa
formal dari rasionalitas. Ia beroperasi melalui sistem simbol dan struktur
logika yang memungkinkan representasi yang presisi terhadap ide-ide abstrak.
Sejak awal abad ke-20, filsafat matematika menaruh perhatian besar terhadap dua
dimensi yang saling berkaitan: dimensi logika, yang menyangkut struktur
penalaran dan pembuktian, serta dimensi bahasa, yang berkaitan dengan
makna simbol dan ekspresi matematis.¹
6.1.
Logika sebagai Fondasi Matematika
Peran logika dalam matematika telah lama diakui
sejak Aristoteles menyusun Organon, tetapi baru memperoleh bentuk formal
yang matang pada abad ke-19 melalui karya Frege, Peano, dan Russell.² Logika
matematis berupaya mengubah seluruh penalaran matematis menjadi sistem deduktif
yang eksplisit, di mana setiap pernyataan dapat diturunkan dari aksioma melalui
aturan inferensi yang ketat.³ Dalam kerangka logisisme, sebagaimana
dikembangkan oleh Gottlob Frege dan kemudian oleh Bertrand Russell serta Alfred
North Whitehead dalam Principia Mathematica, logika dianggap sebagai
dasar ontologis dan epistemologis seluruh matematika.⁴
Melalui logika simbolik, struktur matematika diubah
menjadi sistem formal yang memungkinkan analisis sintaksis terhadap kebenaran
proposisional.⁵ Kebenaran tidak lagi bergantung pada intuisi atau pengalaman,
melainkan pada validitas inferensial di dalam sistem deduksi. Namun, proyek ini
mengalami krisis ketika teorema ketaklengkapan Gödel (1931) membuktikan
bahwa tidak ada sistem formal yang sekaligus lengkap dan konsisten untuk
seluruh aritmetika.⁶ Artinya, dalam setiap sistem logika yang cukup kuat,
selalu ada proposisi yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan di dalam sistem
itu sendiri.⁷ Dengan demikian, logika yang semula diharapkan menjadi dasar
absolut matematika justru memperlihatkan batas-batasnya sendiri.
Krisis ini melahirkan refleksi filosofis penting:
matematika bukan sekadar permainan logis tertutup, melainkan juga sistem
terbuka yang selalu menembus batas dirinya melalui intuisi, bahasa, dan makna.⁸
Hilbert pernah menyatakan bahwa tujuan logika adalah menjamin konsistensi
matematika; setelah Gödel, pandangan itu berubah menjadi kesadaran bahwa logika
adalah instrumen reflektif, bukan fondasi final.⁹
6.2.
Bahasa Matematis dan Struktur
Simbolik
Bahasa matematika adalah sistem simbol formal yang
memiliki sintaksis (aturan bentuk), semantik (makna), dan pragmatik (penggunaan
dalam konteks).¹⁰ Seperti bahasa alami, ia memiliki struktur gramatikal, tetapi
dengan tingkat presisi yang jauh lebih tinggi.¹¹ Ferdinand de Saussure telah
menekankan bahwa makna muncul dari relasi antar-simbol, bukan dari referensi
langsung terhadap realitas.¹² Dalam konteks matematika, hal ini berarti bahwa
simbol-simbol matematis memperoleh makna bukan karena menunjuk pada objek
eksternal, melainkan karena posisi dan fungsinya dalam sistem formal.¹³
Filsuf seperti Ludwig Wittgenstein kemudian
menyoroti dimensi linguistik dari matematika. Dalam Tractatus
Logico-Philosophicus, ia berpendapat bahwa matematika adalah bentuk logika
yang diperluas — tautologi yang penuh makna karena menggambarkan
struktur dunia secara simbolik.¹⁴ Namun dalam karya-karya selanjutnya, terutama
Remarks on the Foundations of Mathematics, Wittgenstein menolak
pandangan bahwa matematika memiliki makna universal yang melekat pada
simbolnya; ia menegaskan bahwa arti matematis muncul dari praktik dan konteks
penggunaan — sebuah bentuk “permainan bahasa” (language-game).¹⁵
Pandangan Wittgenstein membuka ruang bagi
pendekatan pragmatis terhadap bahasa matematika: bahwa makna matematis
tidak dapat dilepaskan dari cara manusia menggunakannya dalam kehidupan ilmiah
dan sosial.¹⁶ Oleh karena itu, matematika bukan hanya sistem tanda yang steril,
tetapi juga aktivitas linguistik yang dihidupi dalam konteks komunitas
penalaran.¹⁷
6.3.
Formalisme dan Krisis Makna
Pendekatan formalis yang dikembangkan oleh
David Hilbert berupaya menyingkirkan unsur semantik dan menekankan matematika
sebagai permainan simbol berdasarkan aturan manipulatif.¹⁸ Dalam kerangka ini,
pernyataan matematis tidak perlu memiliki makna; cukup bahwa ia dapat
dibuktikan secara formal dari aksioma yang ditetapkan.¹⁹ Pendekatan ini
berhasil memperkuat presisi metodologis, tetapi menimbulkan kritik bahwa
matematika kehilangan makna eksistensial dan semantiknya.²⁰
Para pemikir seperti Hermann Weyl dan Michael
Dummett mengingatkan bahwa tanpa dimensi makna, matematika akan menjadi sistem
kosong — benar secara formal, tetapi hampa secara filosofis.²¹ Hilbert
menekankan consistency as truth, sedangkan para realis seperti Gödel dan
Penrose menekankan truth beyond consistency.²² Dengan demikian, dimensi
logika dan bahasa harus dipahami secara komplementer: logika menjaga struktur,
sedangkan bahasa memberi makna.²³
6.4.
Semiotika Matematika dan Teori Makna
Perkembangan teori semiotika memperkaya pemahaman
tentang bahasa matematis. Charles Sanders Peirce, misalnya, memandang simbol
matematis sebagai sign yang memiliki hubungan triadik antara penanda (representamen),
objek, dan interpretan.²⁴ Dalam kerangka ini, proses pemahaman matematis adalah
proses semiosis — tafsir berlapis terhadap simbol yang terus direvisi melalui
inferensi logis.²⁵
Roland Barthes dan Umberto Eco kemudian memperluas
pandangan ini dengan melihat bahwa sistem simbol matematika menciptakan metabahasa
— bahasa tentang bahasa — yang memungkinkan refleksi atas dirinya sendiri.²⁶
Matematika tidak hanya berbicara tentang dunia, tetapi juga tentang cara dunia
direpresentasikan.²⁷ Dengan demikian, bahasa matematis berfungsi ganda: ia
adalah alat komunikasi universal sekaligus cermin epistemik dari struktur
berpikir manusia.
Menuju
Sintesis Logika-Bahasa: Matematika sebagai Teks Rasional
Dari perspektif kontemporer, dimensi logika dan
bahasa dalam matematika tidak dapat dipisahkan.²⁸ Logika memberikan kerangka
formal bagi inferensi yang valid, sementara bahasa menyediakan medium ekspresif
untuk makna dan komunikasi. Dalam kerangka hermeneutik, matematika dapat
dipahami sebagai “teks rasional” yang selalu terbuka terhadap
interpretasi baru — setiap simbol, rumus, dan bukti merupakan bentuk narasi
rasional yang dapat dibaca, dimaknai, dan dikembangkan.²⁹
Filsafat matematika modern, dengan demikian,
bergerak dari paradigma foundationalist menuju paradigma communicative
rationality, di mana logika dan bahasa saling menyeimbangkan: logika
menjamin validitas, bahasa menjamin makna.³⁰ Hubungan keduanya menciptakan
suatu medan filosofis yang dinamis, di mana matematika tidak lagi hanya
berbicara tentang kebenaran formal, tetapi juga tentang makna komunikatif
dari rasionalitas manusia itu sendiri.³¹
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 145–148.
[2]
Aristotle, Organon, trans. E. S. Forster
(Cambridge: Harvard University Press, 1938), Book I.
[3]
Gottlob Frege, Begriffsschrift (Halle:
Nebert, 1879), §§1–3.
[4]
Bertrand Russell and Alfred North Whitehead, Principia
Mathematica, vol. 1 (Cambridge: Cambridge University Press, 1910), vii–xv.
[5]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 33–35.
[6]
Kurt Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze
der Principia Mathematica und verwandter Systeme I (Leipzig: Monatshefte
für Mathematik und Physik, 1931), 173–198.
[7]
Raymond Smullyan, Gödel’s Incompleteness
Theorems (Oxford: Oxford University Press, 1992), 41–43.
[8]
Hao Wang, From Mathematics to Philosophy
(London: Routledge, 1974), 202–205.
[9]
David Hilbert, “The Foundations of Mathematics,” in
From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, ed.
Jean van Heijenoort (Cambridge: Harvard University Press, 1967), 464–479.
[10]
Alfred Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics
(Oxford: Clarendon Press, 1956), 153–155.
[11]
Noam Chomsky, Syntactic Structures (The
Hague: Mouton, 1957), 1–3.
[12]
Ferdinand de Saussure, Course in General
Linguistics, trans. Wade Baskin (New York: McGraw-Hill, 1966), 65–70.
[13]
Ibid., 88–90.
[14]
Ludwig Wittgenstein, Tractatus
Logico-Philosophicus, trans. C. K. Ogden (London: Routledge, 1922),
6.1–6.2.
[15]
Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations
of Mathematics, ed. G. H. von Wright et al. (Cambridge: MIT Press, 1978),
42–47.
[16]
Saul Kripke, Wittgenstein on Rules and Private
Language (Cambridge: Harvard University Press, 1982), 87–90.
[17]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 91–94.
[18]
David Hilbert, “Über das Unendliche,” Mathematische
Annalen 95, no. 1 (1926): 161–190.
[19]
Michael Dummett, Elements of Intuitionism
(Oxford: Clarendon Press, 1977), 47–50.
[20]
Hermann Weyl, Philosophy of Mathematics and
Natural Science (Princeton: Princeton University Press, 1949), 54–57.
[21]
Ibid., 60–61.
[22]
Roger Penrose, The Emperor’s New Mind
(Oxford: Oxford University Press, 1989), 321–325.
[23]
Hilary Putnam, Philosophy of Logic (New
York: Harper, 1971), 112–115.
[24]
Charles S. Peirce, Collected Papers of Charles
Sanders Peirce, vol. 2, ed. C. Hartshorne and P. Weiss (Cambridge: Harvard
University Press, 1932), §92–§99.
[25]
Umberto Eco, A Theory of Semiotics
(Bloomington: Indiana University Press, 1976), 32–35.
[26]
Roland Barthes, Elements of Semiology,
trans. Annette Lavers and Colin Smith (New York: Hill and Wang, 1967), 9–11.
[27]
Eco, A Theory of Semiotics, 93–96.
[28]
Thomas Tymoczko, ed., New Directions in the
Philosophy of Mathematics (Princeton: Princeton University Press, 1998),
188–192.
[29]
Hans-Georg Gadamer, Truth and Method, trans.
Joel Weinsheimer and Donald G. Marshall (New York: Continuum, 1989), 423–425.
[30]
Jürgen Habermas, The Theory of Communicative
Action, vol. 1 (Boston: Beacon Press, 1984), 286–288.
[31]
Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics:
Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 211–214.
7.
Dimensi
Ilmiah dan Interdisipliner
Matematika, sejak awal kelahirannya, bukan hanya
ilmu yang berdiri sendiri, tetapi fondasi konseptual dari seluruh sistem
pengetahuan ilmiah. Ia merupakan bahasa universal bagi ilmu pengetahuan dan
model formal bagi struktur rasionalitas modern.¹ Filsafat matematika, dalam
dimensi ilmiahnya, tidak hanya memeriksa dasar logis dari kebenaran matematis,
tetapi juga menelaah hubungan antara struktur matematis dengan realitas
empiris, serta kontribusinya terhadap perkembangan sains, teknologi, ekonomi,
dan ilmu sosial.²
7.1.
Matematika sebagai Bahasa Ilmu
Pengetahuan
Galileo Galilei pernah menyatakan bahwa “alam
semesta ditulis dalam bahasa matematika.”³ Ungkapan ini bukan sekadar
metafora, melainkan pernyataan ontologis sekaligus epistemologis bahwa
hukum-hukum alam hanya dapat dipahami melalui struktur kuantitatif dan relasi
matematis. Dalam fisika klasik, matematika menjadi alat formulasi universal
bagi hukum gerak Newton, teori elektromagnetik Maxwell, hingga mekanika kuantum
dan relativitas Einstein.⁴
Dalam konteks ini, matematika berfungsi sebagai medium
epistemik, bukan sekadar alat. Ia menyediakan kerangka konseptual yang
memungkinkan transformasi pengalaman empiris menjadi hukum ilmiah yang
rasional.⁵ Pengetahuan ilmiah tanpa matematika kehilangan kemampuan prediktif
dan ketepatan formalnya; sementara matematika tanpa empirisme kehilangan
relevansi dengan realitas. Oleh karena itu, hubungan antara matematika dan
sains bersifat dialektis: matematika membentuk dan sekaligus dibentuk oleh
struktur empiris alam.⁶
7.2.
Dimensi Interdisipliner: Dari Fisika
hingga Ilmu Sosial
Matematika telah melintasi batas-batas tradisional
antara disiplin ilmu, menjadi lingua franca bagi berbagai bidang
pengetahuan. Dalam fisika teoritis, misalnya, persamaan diferensial dan
geometri non-Euclidean menjadi dasar bagi teori relativitas dan mekanika
kuantum.⁷ Di biologi, model matematika digunakan untuk menjelaskan
dinamika populasi, pola evolusi, dan jaringan neuron.⁸ Dalam ekonomi,
teori permainan dan optimisasi matematis menjadi fondasi bagi analisis
rasionalitas manusia dalam pengambilan keputusan.⁹
Namun, perlu dicatat bahwa ekspansi ini tidak hanya
bersifat teknis, melainkan juga filosofis. Ketika matematika diaplikasikan
dalam konteks sosial dan humanistik, ia mengubah cara manusia memahami
rasionalitas, kebebasan, dan nilai.¹⁰ Model matematis dalam ekonomi, misalnya,
sering kali beroperasi dengan asumsi idealisasi yang mengabaikan dimensi etis
dan emosional manusia.¹¹ Dengan demikian, penerapan interdisipliner matematika
menuntut refleksi aksiologis agar rasionalitas formal tidak menindas
kompleksitas realitas manusiawi.¹²
7.3.
Matematika dan Filsafat Ilmu:
Struktur dan Penjelasan
Dalam ranah filsafat ilmu, matematika berperan
sebagai paradigma penjelasan ilmiah (scientific explanation).¹³ Sejak
Ernst Cassirer hingga Bas van Fraassen, matematika dianggap sebagai form of
representation — suatu bentuk simbolik yang tidak menggambarkan dunia
sebagaimana adanya, tetapi menstrukturkan pengalaman melalui simbol dan model.¹⁴
Model matematis, dalam kerangka ini, bukanlah cermin realitas, melainkan
konstruksi konseptual yang menuntun pemahaman terhadap fenomena.¹⁵
Hal ini juga berimplikasi pada perdebatan antara realisme
ilmiah dan instrumentalisme.¹⁶ Realis menganggap bahwa struktur
matematis yang digunakan dalam sains menggambarkan aspek nyata dari dunia,
sedangkan instrumentalis melihat matematika sebagai alat prediksi tanpa klaim
ontologis.¹⁷ Filsafat matematika modern mencoba memediasi kedua pandangan ini
melalui konsep realisme struktural, yakni bahwa yang nyata bukanlah
objek, melainkan struktur relasional yang diungkapkan melalui model
matematis.¹⁸
7.4.
Matematika, Teknologi, dan Era
Digital
Dalam era digital, peran matematika meluas secara
eksponensial. Algoritme, kriptografi, komputasi, dan kecerdasan buatan (AI)
semuanya berakar pada prinsip-prinsip matematis.¹⁹ Matematika kini tidak hanya
menggambarkan dunia, tetapi juga menciptakan realitas baru melalui model
digital dan simulasi.²⁰ Transformasi ini menandai pergeseran ontologis: dari
matematika sebagai deskripsi menjadi matematika sebagai produksi realitas
simbolik.²¹
Namun perkembangan ini menimbulkan problem
epistemik dan etis baru.²² Di satu sisi, algoritme memperluas kemampuan manusia
untuk memahami dan mengontrol dunia; di sisi lain, mereka menciptakan bentuk
determinasi baru yang mengancam otonomi manusia.²³ Karena itu, filsafat
matematika perlu dikembangkan sebagai kritik atas rasionalitas teknologis,
memastikan bahwa kekuatan logis dan komputasional tetap berada dalam horizon
kemanusiaan.²⁴
Luciano Floridi menegaskan bahwa dunia digital
adalah “lingkungan ontologis baru” di mana informasi dan matematika
bersatu dalam bentuk infosphere.²⁵ Dalam konteks ini, filsafat
matematika berperan penting untuk menimbang bagaimana simbol-simbol dan
persamaan yang tampak netral sebenarnya membentuk struktur moral dan sosial
dunia digital kontemporer.²⁶
7.5.
Matematika dan Ilmu Kognitif:
Rasionalitas sebagai Fenomena Manusia
Dimensi interdisipliner matematika juga mencakup
keterkaitannya dengan ilmu kognitif dan neurosains.²⁷ Teori embodied
cognition yang dikemukakan oleh George Lakoff dan Rafael Núñez menunjukkan
bahwa konsep matematis seperti bilangan, ruang, dan fungsi berakar pada
pengalaman tubuh dan persepsi spasial.²⁸ Dengan demikian, rasionalitas
matematis bukanlah entitas murni abstrak, melainkan bentuk pengolahan
pengalaman manusia yang termediasi secara simbolik.²⁹
Dalam konteks ini, matematika menjadi jembatan
antara ranah simbolik dan biologis, antara kesadaran dan dunia.³⁰ Ia
menunjukkan bagaimana logika dan bahasa matematika tumbuh dari dasar kognitif
yang bersifat manusiawi.³¹ Pandangan ini membuka arah baru bagi filsafat
matematika untuk memahami matematika bukan hanya sebagai ilmu deduktif, tetapi juga
sebagai fenomena eksistensial: ekspresi kesadaran manusia terhadap
keteraturan realitas.³²
7.6.
Matematika sebagai Etos Ilmiah
Akhirnya, matematika memiliki fungsi aksiologis
dalam membentuk etos ilmiah modern.³³ Ia menanamkan nilai-nilai
universal seperti objektivitas, kejelasan, dan koherensi yang menjadi dasar
seluruh kegiatan ilmiah.³⁴ Namun, sebagaimana diingatkan oleh Thomas Kuhn,
paradigma ilmiah selalu bersifat historis dan komunitatif; maka matematika pun
perlu dibaca sebagai konstruksi yang terbuka terhadap perubahan dan dialog.³⁵
Dalam arti ini, filsafat matematika berperan
sebagai penjaga keseimbangan antara determinasi logis dan kebebasan kreatif
dalam ilmu.³⁶ Ia memastikan bahwa sains tidak kehilangan orientasi
humanistiknya — bahwa di balik setiap model dan rumus, ada manusia yang
berpikir, menilai, dan bertanggung jawab.³⁷
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 185–188.
[2]
Imre Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic
of Mathematical Discovery (Cambridge: Cambridge University Press, 1976),
1–3.
[3]
Galileo Galilei, Il Saggiatore (Rome:
Accademia dei Lincei, 1623), 32–34.
[4]
Albert Einstein, Relativity: The Special and
General Theory (New York: Crown, 1920), 1–5.
[5]
Ernst Cassirer, Substance and Function
(Chicago: Open Court, 1923), 45–47.
[6]
Bas C. van Fraassen, The Scientific Image
(Oxford: Oxford University Press, 1980), 42–45.
[7]
Michael Friedman, Foundations of Space-Time
Theories (Princeton: Princeton University Press, 1983), 91–95.
[8]
James D. Murray, Mathematical Biology
(Berlin: Springer, 2002), 7–10.
[9]
John von Neumann and Oskar Morgenstern, Theory
of Games and Economic Behavior (Princeton: Princeton University Press,
1944), 11–13.
[10]
Mary S. Morgan and Margaret Morrison, eds., Models
as Mediators: Perspectives on Natural and Social Science (Cambridge:
Cambridge University Press, 1999), 11–14.
[11]
Amartya Sen, Rationality and Freedom
(Cambridge: Harvard University Press, 2002), 57–61.
[12]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 101–104.
[13]
Wesley C. Salmon, Scientific Explanation and the
Causal Structure of the World (Princeton: Princeton University Press,
1984), 32–35.
[14]
Ernst Cassirer, The Philosophy of Symbolic Forms,
vol. 3 (New Haven: Yale University Press, 1957), 70–74.
[15]
Nancy Cartwright, How the Laws of Physics Lie
(Oxford: Oxford University Press, 1983), 25–28.
[16]
Stathis Psillos, Scientific Realism: How Science
Tracks Truth (London: Routledge, 1999), 12–15.
[17]
Bas van Fraassen, The Scientific Image,
57–59.
[18]
James Ladyman, Every Thing Must Go: Metaphysics
Naturalized (Oxford: Oxford University Press, 2007), 121–125.
[19]
Norbert Wiener, Cybernetics: Or Control and
Communication in the Animal and the Machine (Cambridge: MIT Press, 1948),
2–5.
[20]
Shoshana Zuboff, The Age of Surveillance
Capitalism (New York: PublicAffairs, 2019), 89–92.
[21]
Luciano Floridi, The Fourth Revolution: How the
Infosphere Is Reshaping Human Reality (Oxford: Oxford University Press,
2014), 15–18.
[22]
Nick Bostrom, Superintelligence: Paths, Dangers,
Strategies (Oxford: Oxford University Press, 2014), 103–108.
[23]
Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction: How
Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy (New York: Crown,
2016), 5–9.
[24]
Floridi, The Ethics of Information (Oxford:
Oxford University Press, 2013), 202–205.
[25]
Floridi, The Fourth Revolution, 56–58.
[26]
Luciano Floridi, Information: A Very Short
Introduction (Oxford: Oxford University Press, 2010), 110–113.
[27]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
(New York: Basic Books, 2000), 28–31.
[28]
Ibid., 32–36.
[29]
Rafael Núñez, Do Numbers Really Exist?
(Cambridge: MIT Press, 2017), 42–44.
[30]
Andy Clark, Being There: Putting Brain, Body,
and World Together Again (Cambridge: MIT Press, 1997), 73–76.
[31]
Francisco Varela, Evan Thompson, and Eleanor Rosch,
The Embodied Mind: Cognitive Science and Human Experience (Cambridge:
MIT Press, 1991), 117–119.
[32]
Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics:
Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 227–230.
[33]
Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific
Revolutions, 2nd ed. (Chicago: University of Chicago Press, 1970), 10–13.
[34]
Robert Merton, The Sociology of Science:
Theoretical and Empirical Investigations (Chicago: University of Chicago
Press, 1973), 267–269.
[35]
Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions,
121–124.
[36]
Imre Lakatos, The Methodology of Scientific
Research Programmes (Cambridge: Cambridge University Press, 1978), 178–180.
[37]
Jürgen Habermas, The Theory of Communicative
Action, vol. 1 (Boston: Beacon Press, 1984), 287–290.
8.
Kritik
terhadap Paradigma Filsafat Matematika Klasik
Paradigma klasik dalam filsafat matematika — yang
mencakup Platonisme, Logisisme, Formaisme, dan Intuisionisme — telah
membentuk fondasi berpikir tentang hakikat dan metode matematika selama lebih
dari dua abad. Namun, sejak pertengahan abad ke-20, paradigma-paradigma
tersebut mulai dipertanyakan, baik karena keterbatasan metafisik maupun karena
ketidakmampuannya menjelaskan dimensi sosial, historis, dan kognitif dari
praktik matematis.¹ Filsafat matematika modern dan kontemporer kemudian beralih
dari pencarian fondasi absolut menuju pemahaman pluralistik dan dinamis yang
lebih menekankan konteks praksis manusia.
8.1.
Kritik Fenomenologis: Mengembalikan
Pengalaman ke dalam Matematika
Salah satu kritik paling mendasar datang dari
tradisi fenomenologi, terutama melalui pemikiran Edmund Husserl. Dalam The
Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology, Husserl
mengemukakan bahwa matematika modern telah “menyimpang dari dunia kehidupan”
(Lebenswelt), yaitu dunia konkret pengalaman manusia yang menjadi sumber
makna asli bagi segala pengetahuan.² Baginya, matematika yang terlalu formal
telah kehilangan akar intuitifnya, menjelma menjadi sistem simbol yang terlepas
dari kesadaran transendental yang menghasilkannya.³
Husserl berpendapat bahwa kebenaran matematis tidak
dapat dipahami semata sebagai deduksi logis, tetapi harus ditelusuri kembali ke
dalam aktus kesadaran yang memproduksi objek-objek ideal.⁴ Dengan
demikian, fenomenologi menolak formalisme dan logisisme yang meniadakan subjek
epistemik. Kritik ini membuka jalan bagi pendekatan yang lebih reflektif
terhadap dasar pengalaman kognitif manusia dalam membangun struktur matematis.⁵
Maurice Merleau-Ponty melanjutkan gagasan ini
dengan menunjukkan bahwa intuisi matematis berakar pada pengalaman tubuh (embodied
experience).⁶ Menurutnya, ruang geometri bukanlah entitas abstrak yang
eksis di luar kesadaran, melainkan hasil dari persepsi spasial tubuh manusia.⁷
Kritik fenomenologis ini mengembalikan matematika pada dimensi eksistensialnya
— sebagai aktivitas manusia yang lahir dari keterlibatan dengan dunia, bukan
sistem simbol otonom.
8.2.
Kritik Eksistensialis dan
Humanistik: Rasionalitas yang Terasing
Selain fenomenologi, filsafat eksistensial juga
memberikan kritik tajam terhadap dehumanisasi dalam rasionalitas matematis.
Martin Heidegger, misalnya, menilai bahwa matematika modern berkontribusi pada Gestell
— kerangka berpikir teknologis yang mengubah dunia menjadi sekadar objek
manipulasi.⁸ Dalam pandangan ini, matematika telah kehilangan dimensi
ontologisnya dan berubah menjadi alat kontrol total atas realitas.⁹
Jean-Paul Sartre dan Albert Camus, meski tidak
secara langsung menulis tentang filsafat matematika, menyuarakan kritik yang
senada: bahwa rasionalitas matematis, bila dilepaskan dari nilai-nilai
eksistensial, berpotensi meniadakan makna dan kebebasan manusia.¹⁰ Matematika
yang hanya mengejar kepastian formal, tanpa kesadaran moral dan kemanusiaan,
berisiko menjadi bentuk “nihilisme rasional” — rasionalitas tanpa arah etis.¹¹
Kritik humanistik kemudian menuntut reintegrasi
nilai-nilai kemanusiaan dalam praktik matematis: bahwa berpikir secara
matematis bukan hanya berpikir benar, tetapi juga berpikir bermakna.¹² Dalam
konteks ini, filsafat matematika harus kembali menjadi refleksi tentang logos
yang berjiwa, bukan sekadar sistem tanda tanpa makna.
8.3.
Kritik Posmodern dan Bahasa:
Relativisasi Kebenaran Matematis
Pemikiran posmodern menantang klaim
universalisme dan absolutisme yang melekat dalam paradigma klasik.
Jean-François Lyotard, dalam The Postmodern Condition, menegaskan bahwa
“narasi besar” (grand narratives) tentang kepastian rasional —
termasuk dalam matematika — telah runtuh dalam masyarakat pascaindustri.¹³
Kebenaran tidak lagi dipahami sebagai korespondensi universal, melainkan
sebagai hasil permainan bahasa (language games) yang bergantung pada
konteks sosial dan historis.¹⁴
Dalam perspektif ini, matematika dipandang sebagai wacana
linguistik dengan aturan internalnya sendiri. Ludwig Wittgenstein
sebelumnya telah membuka arah ini dengan konsep permainan bahasa dalam Remarks
on the Foundations of Mathematics, di mana ia menolak gagasan bahwa
kebenaran matematis memiliki makna transhistoris.¹⁵ Kebenaran, baginya, adalah
fungsi dari praktik komunitas rasional yang menggunakan simbol-simbol itu —
bukan sifat inheren dari simbol itu sendiri.¹⁶
Richard Rorty kemudian memperluas kritik ini
melalui pragmatisme neoposmodern, yang menolak pencarian fondasi
metafisik bagi kebenaran.¹⁷ Menurutnya, matematika tidak membutuhkan pembenaran
transendental; cukup dipahami sebagai alat dialog dan koherensi sosial dalam
diskursus ilmiah.¹⁸ Dengan demikian, posmodernisme memecah ilusi tentang
objektivitas mutlak dan menegaskan dimensi plural dari rasionalitas ilmiah.
8.4.
Kritik Historis dan Sosial:
Matematika sebagai Produk Budaya
Paradigma klasik cenderung memandang matematika
sebagai aktivitas ahistoris — seolah-olah kebenaran matematis bersifat abadi
dan terlepas dari konteks sosial. Kritik dari perspektif sejarah dan
sosiologi ilmu menolak asumsi ini. Thomas S. Kuhn menunjukkan bahwa bahkan
ilmu eksakta berkembang melalui revolusi paradigma yang bersifat historis dan
komunitatif.¹⁹ Dengan analogi ini, konsep dan metode matematis juga dapat
mengalami perubahan paradigma, bukan hanya evolusi logis.²⁰
Bruno Latour dan Steve Woolgar, dalam Laboratory
Life, menyoroti bahwa praktik ilmiah (termasuk matematika) selalu dimediasi
oleh bahasa, teknologi, dan relasi sosial.²¹ Artinya, bukti dan model matematis
tidak berdiri di atas “fakta murni,” tetapi merupakan hasil konstruksi
dalam jaringan institusional dan diskursif.²²
Paul Ernest, sebagai tokoh sosiokonstruktivisme
matematis, menegaskan bahwa matematika adalah hasil aktivitas sosial
kolaboratif, bukan penemuan tunggal dari rasio individu.²³ Ia menyatakan bahwa
bukti matematis memperoleh legitimasi bukan hanya karena logikanya, tetapi
karena diterima oleh komunitas praktisi.²⁴ Dengan demikian, kebenaran matematis
bersifat intersubjektif, terbentuk melalui dialog dan kesepakatan dalam
komunitas epistemik.
8.5.
Kritik Feminist dan Postkolonial:
Dekonstruksi Bias dalam Rasionalitas Matematis
Dalam beberapa dekade terakhir, muncul pula kritik
dari perspektif feminist dan postkolonial terhadap filsafat
matematika klasik. Tokoh seperti Evelyn Fox Keller dan Sandra Harding
berpendapat bahwa sains, termasuk matematika, telah lama dibangun di atas
paradigma rasionalitas maskulin yang menekankan objektivitas, kontrol, dan
distansi.²⁵ Mereka menuntut rekonstruksi epistemologi matematika yang lebih
inklusif — yang mengakui peran emosi, intuisi, dan empati dalam proses berpikir
ilmiah.²⁶
Sementara itu, perspektif postkolonial
menyoroti bahwa klaim universalitas matematika sering kali menyembunyikan bias
Eurocentris.²⁷ Kajian etnomatematika yang dikembangkan oleh Ubiratan D’Ambrosio
menunjukkan bahwa setiap kebudayaan memiliki bentuk penalaran dan sistem
simboliknya sendiri yang sah secara epistemik.²⁸ Dengan demikian, matematika
tidak tunggal, melainkan plural: ada banyak cara manusia membangun rasionalitas
melalui simbol dan pola.²⁹
Arah Baru:
Pluralisme, Strukturalisme, dan Realisme Naturalistik
Kritik terhadap paradigma klasik tidak berakhir
pada dekonstruksi, tetapi membuka jalan menuju pendekatan baru yang lebih
plural dan naturalistik.³⁰ Para filsuf seperti Michael Resnik dan Stewart
Shapiro menawarkan realisme struktural, yaitu pandangan bahwa yang nyata
bukanlah entitas matematis individual, melainkan struktur relasional yang
menghubungkan semuanya.³¹ Sementara itu, Penelope Maddy dan Otávio Bueno
mengembangkan naturalisme matematis, yang menempatkan matematika dalam
konteks praktik ilmiah nyata tanpa mengandaikan entitas metafisik.³²
Pendekatan-pendekatan baru ini menegaskan bahwa
filsafat matematika perlu bergerak dari paradigma fondasional menuju paradigma interkoneksi,
di mana logika, bahasa, dan budaya saling berinteraksi.³³ Kritik terhadap
paradigma klasik, dengan demikian, bukanlah penolakan terhadap matematika itu
sendiri, melainkan upaya untuk memperluas maknanya — dari sistem tertutup
menuju praksis rasional yang terbuka, humanistik, dan reflektif.³⁴
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 231–234.
[2]
Edmund Husserl, The Crisis of European Sciences
and Transcendental Phenomenology, trans. David Carr (Evanston: Northwestern
University Press, 1970), 6–8.
[3]
Ibid., 9–10.
[4]
Husserl, Logical Investigations, trans. J.
N. Findlay (London: Routledge, 1970), 187–190.
[5]
J. N. Mohanty, Husserl and Frege
(Bloomington: Indiana University Press, 1982), 75–78.
[6]
Maurice Merleau-Ponty, Phenomenology of
Perception, trans. Colin Smith (London: Routledge, 1962), 225–228.
[7]
Ibid., 241–244.
[8]
Martin Heidegger, The Question Concerning
Technology, trans. William Lovitt (New York: Harper & Row, 1977),
19–23.
[9]
Ibid., 28–30.
[10]
Jean-Paul Sartre, Being and Nothingness,
trans. Hazel E. Barnes (New York: Philosophical Library, 1956), 732–735.
[11]
Albert Camus, The Myth of Sisyphus, trans.
Justin O’Brien (New York: Vintage, 1955), 89–91.
[12]
Martha Nussbaum, Cultivating Humanity
(Cambridge: Harvard University Press, 1997), 55–59.
[13]
Jean-François Lyotard, The Postmodern Condition:
A Report on Knowledge, trans. Geoff Bennington and Brian Massumi
(Minneapolis: University of Minnesota Press, 1984), xxiii–xxv.
[14]
Ibid., 26–28.
[15]
Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations
of Mathematics, ed. G. H. von Wright et al. (Cambridge: MIT Press, 1978),
42–47.
[16]
Saul Kripke, Wittgenstein on Rules and Private
Language (Cambridge: Harvard University Press, 1982), 90–94.
[17]
Richard Rorty, Philosophy and the Mirror of
Nature (Princeton: Princeton University Press, 1979), 371–374.
[18]
Ibid., 376–378.
[19]
Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific
Revolutions, 2nd ed. (Chicago: University of Chicago Press, 1970), 92–95.
[20]
Ibid., 110–112.
[21]
Bruno Latour and Steve Woolgar, Laboratory Life:
The Construction of Scientific Facts (Princeton: Princeton University
Press, 1979), 43–47.
[22]
Ibid., 89–91.
[23]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 103–107.
[24]
Ibid., 111–113.
[25]
Evelyn Fox Keller, Reflections on Gender and
Science (New Haven: Yale University Press, 1985), 9–12.
[26]
Sandra Harding, The Science Question in Feminism
(Ithaca: Cornell University Press, 1986), 113–116.
[27]
George Gheverghese Joseph, The Crest of the
Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 3rd ed. (Princeton: Princeton
University Press, 2011), 3–5.
[28]
Ubiratan D’Ambrosio, Ethnomathematics: Link
between Traditions and Modernity (Rotterdam: Sense Publishers, 2006),
27–29.
[29]
Ibid., 30–33.
[30]
Otávio Bueno and Øystein Linnebo, eds., New
Waves in Philosophy of Mathematics (Basingstoke: Palgrave Macmillan, 2009),
1–3.
[31]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 221–224.
[32]
Penelope Maddy, Defending the Axioms: On the
Philosophical Foundations of Set Theory (Oxford: Oxford University Press,
2011), 97–100.
[33]
James Ladyman, Every Thing Must Go: Metaphysics
Naturalized (Oxford: Oxford University Press, 2007), 121–125.
[34]
Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics:
Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 237–240.
9.
Relevansi
Kontemporer: Matematika di Era Digital
Perkembangan teknologi digital dan komputasi modern
telah mengubah secara radikal wajah matematika sebagai disiplin pengetahuan
sekaligus praktik kognitif manusia. Dalam abad ke-21, matematika tidak lagi
sekadar alat untuk memahami realitas, melainkan juga sarana untuk menciptakan
realitas baru melalui algoritme, data, dan simulasi digital.¹ Transformasi ini
menandai perubahan epistemologis dan ontologis yang mendalam, di mana
matematika berfungsi bukan hanya sebagai bahasa ilmu, tetapi juga sebagai arsitektur
dunia digital yang membentuk cara manusia berpikir, berinteraksi, dan
hidup.²
9.1.
Dari Representasi ke Produksi
Realitas Digital
Pada era klasik, matematika dipandang sebagai
representasi rasional dari tatanan alam semesta. Namun, di era digital,
paradigma ini bergeser: matematika tidak hanya merepresentasikan dunia,
tetapi juga memproduksi realitas digital melalui simulasi, model
komputasi, dan algoritme.³ Dunia maya (virtual) dan dunia informasi (infosphere)
kini menjadi medan ontologis baru tempat struktur matematis beroperasi secara
otonom.⁴
Luciano Floridi menyebut transformasi ini sebagai revolusi
keempat dalam filsafat, setelah Copernicus, Darwin, dan Freud — sebuah
pergeseran yang menempatkan manusia bukan lagi sebagai pusat pengetahuan,
tetapi sebagai bagian dari ekosistem informasi yang dikonstruksi secara
matematis.⁵ Dalam konteks ini, realitas digital adalah realitas matematis yang
diaktualkan melalui kode dan algoritme.⁶ Dengan demikian, matematika kini
berperan sebagai agen ontologis, bukan sekadar bahasa deskriptif.
Transformasi ini terlihat dalam berbagai bidang,
dari model iklim dan ekonomi hingga simulasi bioteknologi dan kecerdasan
buatan.⁷ Dalam setiap kasus, representasi matematis tidak hanya menggambarkan
fenomena, tetapi juga membentuk perilaku sistem yang dimodelkan. Dunia menjadi
“diprogram” secara matematis — suatu kondisi yang menuntut refleksi etis
dan filosofis baru terhadap peran matematika dalam menentukan bentuk kehidupan
kontemporer.⁸
9.2.
Algoritme, Otomasi, dan Rasionalitas
Instrumental
Era digital memperlihatkan ekspansi matematis dalam
bentuk algoritme dan komputasi otomatis.⁹ Algoritme adalah penerapan konkret
dari logika matematis yang beroperasi dalam skala masif melalui sistem
komputasi. Mereka menjadi infrastruktur tak terlihat dari hampir semua aspek
kehidupan: ekonomi, media sosial, transportasi, bahkan pengambilan keputusan
politik.¹⁰
Namun, dominasi algoritmik menimbulkan pertanyaan
serius mengenai rasionalitas yang mendasarinya.¹¹ Rasionalitas algoritmik
cenderung bersifat instrumental, berorientasi pada efisiensi dan
optimalisasi, bukan pada makna atau kebaikan.¹² Ketika algoritme menentukan
pilihan manusia berdasarkan pola statistik, maka matematika berpotensi
menggantikan kebebasan reflektif dengan determinasi numerik.¹³
Shoshana Zuboff menyebut fenomena ini sebagai instrumentarian
power — kekuasaan berbasis algoritme yang mengatur perilaku manusia tanpa
memerlukan ideologi.¹⁴ Di sini, matematika menjadi bahasa kekuasaan baru: ia
mengoperasikan logika pengawasan, prediksi, dan kontrol.¹⁵ Karena itu, filsafat
matematika di era digital perlu mengembangkan etika algoritmik, yaitu
refleksi normatif terhadap bagaimana struktur matematis mempengaruhi otonomi
dan tanggung jawab moral manusia.¹⁶
9.3.
Big Data dan Krisis Epistemologi
Kehadiran big data menimbulkan tantangan
epistemologis yang signifikan bagi filsafat matematika.¹⁷ Dalam paradigma
datafikasi, kebenaran tidak lagi diperoleh melalui deduksi logis, tetapi
melalui korelasi statistik dari jutaan data yang dianalisis oleh algoritme.¹⁸
Chris Anderson bahkan menyebut fenomena ini sebagai “akhir dari teori” (the
end of theory), di mana model matematis digantikan oleh kekuatan prediksi
empiris dari data besar.¹⁹
Namun, pandangan ini menimbulkan dilema
epistemik.²⁰ Jika pengetahuan ilmiah digantikan oleh korelasi tanpa pemahaman,
maka matematika kehilangan sifat reflektifnya sebagai instrumen rasionalitas.²¹
Sebagaimana dikemukakan oleh Evgeny Morozov, pendekatan data-driven cenderung
melahirkan solutionism, yaitu keyakinan bahwa setiap persoalan sosial
dapat diselesaikan dengan model matematis, padahal realitas manusia jauh lebih
kompleks.²²
Krisis epistemologi ini menegaskan perlunya rasionalitas
interpretatif, bukan sekadar rasionalitas komputasional.²³ Filsafat
matematika berperan penting untuk mengingatkan bahwa makna tidak pernah muncul
dari data mentah, tetapi dari penalaran reflektif yang mengaitkan simbol dengan
pengalaman dan nilai.²⁴
9.4.
Matematika, Kecerdasan Buatan, dan
Simulasi Kognitif
Kecerdasan buatan (AI) adalah manifestasi paling
mutakhir dari aplikasi matematis dalam ranah kognitif.²⁵ Neural networks, machine
learning, dan deep learning bekerja melalui fungsi matematis yang
mereplikasi sebagian pola berpikir manusia.²⁶ Namun, di sinilah muncul
pertanyaan filosofis yang mendalam: apakah sistem matematis benar-benar dapat berpikir,
ataukah hanya menghitung?²⁷
John Searle melalui Chinese Room Argument
menegaskan bahwa manipulasi simbol matematis tidak identik dengan pemahaman.²⁸
Begitu pula Hubert Dreyfus menunjukkan keterbatasan AI dalam memahami konteks
eksistensial dan makna yang tidak dapat diformalkan secara algoritmik.²⁹ Dengan
demikian, filsafat matematika perlu mempertahankan perbedaan antara rasionalitas
simbolik dan rasionalitas eksistensial — antara berpikir secara
logis dan memahami secara manusiawi.³⁰
Roger Penrose menambahkan dimensi ontologis baru
melalui The Emperor’s New Mind, dengan berpendapat bahwa kesadaran
manusia melampaui komputasi algoritmik karena melibatkan proses non-algoritmik
yang bersifat kuantum.³¹ Pandangan ini menunjukkan bahwa meskipun matematika
membangun model kecerdasan buatan, ia tidak mampu sepenuhnya menjelaskan
kesadaran sebagai fenomena eksistensial.³²
9.5.
Etika Digital dan Tanggung Jawab
Matematis
Dalam masyarakat algoritmik, matematika memegang
peran etis yang semakin besar.³³ Setiap rumus, fungsi, dan model dapat
berdampak langsung pada kehidupan manusia — mulai dari algoritme perbankan dan
keamanan siber hingga sistem prediksi sosial.³⁴ Karena itu, filsafat matematika
kontemporer menuntut etika matematis, yaitu kesadaran bahwa setiap
keputusan logis memiliki konsekuensi moral.³⁵
Luciano Floridi mengembangkan konsep infospheric
ethics yang menempatkan tanggung jawab manusia dalam menjaga integritas
lingkungan informasi.³⁶ Dalam konteks ini, matematika harus dipahami sebagai
bentuk ekoteknologi moral, di mana rasionalitas tidak hanya diarahkan
pada efisiensi, tetapi pada pelestarian nilai-nilai kemanusiaan dan ekologis
dalam dunia digital.³⁷
Etika digital mengembalikan makna aksiologis
matematika: bahwa simbol dan algoritme, betapapun abstraknya, selalu beroperasi
dalam horizon etis manusia.³⁸ Dengan demikian, filsafat matematika berfungsi
tidak hanya sebagai refleksi logis, tetapi juga sebagai panduan moral bagi
peradaban algoritmik yang tengah kita masuki.³⁹
9.6.
Humanisasi Matematika di Era Digital
Relevansi kontemporer filsafat matematika berpuncak
pada upaya untuk menghumanisasi matematika di tengah dunia yang semakin
terdigitalisasi.⁴⁰ Pendekatan humanistik menegaskan bahwa matematika, meski
kini menjadi basis bagi teknologi dan ekonomi global, tetap merupakan ekspresi
rasionalitas manusia — refleksi tentang keteraturan, makna, dan
kebijaksanaan.⁴¹
Dalam konteks pendidikan, pendekatan ini berarti
mengembalikan matematika sebagai sarana pembentukan karakter intelektual dan
moral, bukan sekadar instrumen teknis.⁴² Di tingkat sosial, hal ini menuntut
pembangunan budaya digital yang berlandaskan pada transparansi, keadilan, dan
tanggung jawab etis dalam penggunaan model matematis.⁴³
Dengan demikian, filsafat matematika di era digital
bukan lagi semata-mata studi tentang bilangan atau bentuk, melainkan filsafat
tentang rasionalitas yang hidup — tentang bagaimana logika, algoritme, dan
etika dapat bersatu dalam membangun masa depan manusia yang adil dan
bermakna.⁴⁴
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 251–254.
[2]
Luciano Floridi, The Fourth Revolution: How the
Infosphere Is Reshaping Human Reality (Oxford: Oxford University Press,
2014), 15–18.
[3]
Imre Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic
of Mathematical Discovery (Cambridge: Cambridge University Press, 1976),
1–4.
[4]
Floridi, Information: A Very Short Introduction
(Oxford: Oxford University Press, 2010), 2–5.
[5]
Floridi, The Fourth Revolution, 23–26.
[6]
Ibid., 28–30.
[7]
Norbert Wiener, Cybernetics: Or Control and
Communication in the Animal and the Machine (Cambridge: MIT Press, 1948),
15–17.
[8]
James Gleick, The Information: A History, a
Theory, a Flood (New York: Pantheon, 2011), 403–406.
[9]
Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing,
Risk, and Trust (Cambridge: MIT Press, 2001), 12–15.
[10]
Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction: How
Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy (New York: Crown,
2016), 3–6.
[11]
Evgeny Morozov, To Save Everything, Click Here
(New York: PublicAffairs, 2013), 74–76.
[12]
Jürgen Habermas, The Theory of Communicative
Action, vol. 1 (Boston: Beacon Press, 1984), 287–289.
[13]
Shoshana Zuboff, The Age of Surveillance
Capitalism (New York: PublicAffairs, 2019), 89–92.
[14]
Ibid., 123–126.
[15]
Ibid., 197–199.
[16]
Luciano Floridi, The Ethics of Information
(Oxford: Oxford University Press, 2013), 200–205.
[17]
Viktor Mayer-Schönberger and Kenneth Cukier, Big
Data: A Revolution That Will Transform How We Live, Work, and Think
(Boston: Houghton Mifflin Harcourt, 2013), 67–70.
[18]
Chris Anderson, “The End of Theory,” Wired
Magazine 16, no. 7 (2008): 108–109.
[19]
Ibid.
[20]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 171–173.
[21]
Morozov, To Save Everything, Click Here,
82–84.
[22]
Ibid., 89–91.
[23]
Hans-Georg Gadamer, Truth and Method, trans.
Joel Weinsheimer and Donald G. Marshall (New York: Continuum, 1989), 411–415.
[24]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 128–131.
[25]
Nick Bostrom, Superintelligence: Paths, Dangers,
Strategies (Oxford: Oxford University Press, 2014), 91–94.
[26]
Stuart Russell and Peter Norvig, Artificial
Intelligence: A Modern Approach, 4th ed. (Upper Saddle River: Pearson,
2021), 5–8.
[27]
Hubert Dreyfus, What Computers Still Can’t Do: A
Critique of Artificial Reason (Cambridge: MIT Press, 1992), 55–58.
[28]
John Searle, Minds, Brains, and Programs, Behavioral
and Brain Sciences 3, no. 3 (1980): 417–457.
[29]
Dreyfus, What Computers Still Can’t Do,
60–62.
[30]
Thomas Metzinger, The Ego Tunnel: The Science of
the Mind and the Myth of the Self (New York: Basic Books, 2009), 119–122.
[31]
Roger Penrose, The Emperor’s New Mind
(Oxford: Oxford University Press, 1989), 321–325.
[32]
Ibid., 330–333.
[33]
Luciano Floridi, The Ethics of Information,
201–205.
[34]
Virginia Eubanks, Automating Inequality: How
High-Tech Tools Profile, Police, and Punish the Poor (New York: St.
Martin’s Press, 2018), 42–46.
[35]
Floridi, The Ethics of Information, 210–213.
[36]
Luciano Floridi, Information Ethics: Its Nature
and Scope, Computers and Society 4, no. 3 (1999): 37–38.
[37]
Ibid., 40–41.
[38]
Paul Ernest, “Mathematics and Human Values,” For
the Learning of Mathematics 3, no. 2 (1983): 39–42.
[39]
Floridi, The Fourth Revolution, 112–115.
[40]
Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure
and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 247–250.
[41]
Elaine Landry, Categories for the Working
Philosopher (Oxford: Oxford University Press, 2017), 202–205.
[42]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From (New York: Basic Books, 2000), 283–286.
[43]
Mark Johnson, Moral Imagination: Implications of
Cognitive Science for Ethics (Chicago: University of Chicago Press, 1993),
147–150.
[44]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 1023–1026.
10. Sintesis Filosofis: Menuju Humanisme Matematis
Perkembangan filsafat matematika dari zaman klasik
hingga era digital menunjukkan bahwa matematika bukan hanya sistem simbol
formal, tetapi juga medan makna eksistensial yang mencerminkan kompleksitas rasionalitas
manusia.¹ Setelah menelusuri dimensi ontologis (hakikat keberadaan entitas
matematis), epistemologis (sumber pengetahuan matematis), dan aksiologis (nilai
serta tujuan matematika), kini diperlukan suatu sintesis filosofis yang mampu
mengintegrasikan ketiganya dalam horizon humanistik. Sintesis ini disebut humanisme
matematis, yakni pandangan yang menempatkan matematika sebagai ekspresi
rasional, etis, dan kreatif dari kemanusiaan, bukan sebagai struktur mekanistik
yang terlepas dari kehidupan manusia.²
10.1.
Rekonsiliasi antara Abstraksi dan
Eksistensi
Humanisme matematis berangkat dari kesadaran bahwa
matematika tidak dapat direduksi menjadi sistem simbol kosong, tetapi juga
tidak dapat direduksi menjadi pengalaman empiris semata.³ Ia menuntut
rekonsiliasi antara dua ekstrem yang telah lama memisahkan filsafat matematika:
idealisme rasionalis (yang menekankan keberadaan ide-ide matematis di luar
manusia) dan konstruktivisme empiris (yang menekankan peran pengalaman dan
konteks).⁴
Dalam kerangka humanistik, matematika dipahami
sebagai dialog antara abstraksi dan eksistensi.⁵ Abstraksi matematis
melahirkan struktur yang universal dan konsisten, sementara eksistensi manusia
memberi makna terhadap struktur tersebut melalui pengalaman, intuisi, dan
nilai. Seperti yang dikemukakan oleh Edmund Husserl, setiap konsep ideal
memiliki “akar fenomenologis” dalam kesadaran manusia yang
mengalaminya.⁶ Dengan demikian, kebenaran matematis tidak bersifat dingin dan
impersonal, melainkan hasil refleksi mendalam dari akal budi yang hidup.
Rekonsiliasi ini memungkinkan kita memahami
matematika sebagai bentuk rasionalitas yang transendental sekaligus imanen
— ia mengatasi dunia empiris, tetapi juga tumbuh dari dalam kesadaran manusia
yang berinteraksi dengan dunia.⁷
10.2.
Matematika sebagai Ekspresi Etis dan
Estetis Rasio
Humanisme matematis menegaskan bahwa nilai
tertinggi dari matematika bukan hanya pada ketepatan logisnya, tetapi juga pada
nilai-nilai etis dan estetis yang dikandungnya.⁸ Keindahan dalam matematika —
sebagaimana diungkapkan oleh Pythagoras, Plato, hingga Paul Dirac — bukan
sekadar kenikmatan intelektual, melainkan kesaksian atas keteraturan dan
harmoni kosmos.⁹ Keindahan ini memupuk sikap kagum dan rasa syukur terhadap
realitas, serta menumbuhkan kerendahan hati epistemik dalam menghadapi misteri
alam semesta.¹⁰
Secara etis, matematika mengajarkan kejujuran
logis, konsistensi, dan disiplin berpikir — nilai-nilai yang menjadi dasar
integritas ilmiah.¹¹ Dalam praktik sosial, matematika yang berlandaskan etika
menjadi alat pembebasan, bukan dominasi; ia membantu manusia memahami dan
menata dunia tanpa menindasnya.¹² Sebagaimana ditegaskan oleh Martha Nussbaum,
rasionalitas sejati selalu terkait dengan empati dan tanggung jawab moral.¹³
Dengan demikian, matematika humanistik
menggabungkan keindahan (estetika) dan kebaikan (etika) ke dalam struktur
pengetahuan — menjadikan rasio sebagai medium kebijaksanaan, bukan sekadar
instrumen efisiensi.¹⁴
10.3.
Rasionalitas sebagai Dialog antara
Subjek dan Dunia
Humanisme matematis juga menolak pandangan
Cartesian yang memisahkan subjek dan objek secara mutlak.¹⁵ Ia berpijak pada
pemahaman relasional bahwa rasionalitas adalah hasil dialog antara kesadaran
manusia dan tatanan realitas.¹⁶ Dalam kerangka ini, matematika bukan sekadar “bahasa
dunia,” tetapi juga “bahasa kesadaran” — cermin dari kemampuan
manusia untuk mengenali keteraturan sambil menafsirkan makna di dalamnya.¹⁷
Maurice Merleau-Ponty menegaskan bahwa setiap
struktur pengetahuan berakar pada pengalaman tubuh dan persepsi yang terlibat
dengan dunia.¹⁸ Dengan demikian, proses berpikir matematis tidak bersifat
terlepas, melainkan embodied — diwujudkan melalui tindakan, simbol, dan
komunikasi.¹⁹ Humanisme matematis memandang aktivitas berpikir matematis
sebagai bentuk partisipasi manusia dalam realitas yang lebih luas, bukan
dominasi atasnya.
Hal ini mengembalikan matematika kepada fungsi
aslinya sebagai dialog eksistensial antara manusia dan alam, antara
kesadaran dan keteraturan kosmik.²⁰ Dalam dialog ini, manusia tidak hanya “menguasai”
dunia, tetapi juga “berteman” dengannya melalui harmoni simbolik yang
rasional dan penuh makna.²¹
10.4.
Integrasi Dimensi Ontologis,
Epistemologis, dan Aksiologis
Humanisme matematis menawarkan suatu sintesis
antara tiga dimensi utama filsafat matematika: ontologi, epistemologi, dan
aksiologi.²² Secara ontologis, ia menegaskan bahwa entitas matematis
bersifat relasional, yakni eksis sejauh direalisasikan dalam praktik
intelektual manusia yang berinteraksi dengan dunia.²³ Secara epistemologis,
pengetahuan matematis dipahami sebagai hasil konstruksi reflektif yang berpijak
pada intuisi, logika, dan komunikasi simbolik.²⁴ Secara aksiologis, matematika
mengandung nilai-nilai humanistik — keindahan, kebenaran, dan tanggung jawab
moral — yang menjadikannya bagian dari kebudayaan manusia.²⁵
Pendekatan ini juga berusaha melampaui dikotomi
klasik antara realisme dan antirealisme dengan menawarkan realisme
relasional: realitas matematis ada bukan secara terpisah dari manusia,
tetapi dalam relasi dinamis antara subjek yang berpikir dan struktur dunia yang
dapat dipahami.²⁶ Hal ini sejalan dengan gagasan “realisme struktural”
dari Michael Resnik dan James Ladyman, tetapi dalam bingkai humanistik yang
menekankan keterlibatan kesadaran dan nilai.²⁷
10.5.
Menuju Etos Rasionalitas Humanistik
Sintesis humanisme matematis menuntun pada
pembentukan etos rasionalitas humanistik, yakni cara berpikir yang
menggabungkan presisi logis dengan kepekaan moral dan imajinasi kreatif.²⁸
Dalam masyarakat digital, di mana algoritme dan model matematis mendominasi
pengambilan keputusan, etos ini menjadi semakin penting.²⁹ Ia menolak reduksi
rasionalitas menjadi efisiensi teknis semata dan menegaskan bahwa tujuan akhir
matematika adalah memperluas pemahaman dan kemanusiaan, bukan sekadar
mengendalikan dunia.³⁰
Sejalan dengan gagasan Jürgen Habermas tentang
rasionalitas komunikatif, humanisme matematis memandang bahwa kebenaran tidak
cukup diukur dengan koherensi logis, tetapi juga dengan keterbukaan terhadap
dialog dan konsensus etis.³¹ Dengan demikian, matematika tidak lagi berdiri di
atas menara gading abstraksi, tetapi hadir sebagai bagian dari praksis sosial
yang memajukan kemanusiaan.³²
Humanisme matematis, pada akhirnya, merupakan upaya
untuk memulihkan jiwa rasionalitas: mengembalikan matematika kepada
peran asalnya sebagai jalan menuju kebijaksanaan — sapientia, bukan
sekadar scientia.³³
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 257–259.
[2]
Elaine Landry, Categories for the Working
Philosopher (Oxford: Oxford University Press, 2017), 199–202.
[3]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 41–44.
[4]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 2–5.
[5]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 99–103.
[6]
Edmund Husserl, Logical Investigations,
trans. J. N. Findlay (London: Routledge, 1970), 187–190.
[7]
Husserl, The Crisis of European Sciences and
Transcendental Phenomenology, trans. David Carr (Evanston: Northwestern
University Press, 1970), 9–10.
[8]
Bertrand Russell, Mysticism and Logic
(London: Longmans, Green and Co., 1917), 59–61.
[9]
Paul Dirac, Directions in Physics (New York:
Wiley, 1978), 48–50.
[10]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 17–20.
[11]
Hilary Putnam, Mathematics, Matter and Method,
2nd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 1979), 347–349.
[12]
Amartya Sen, Rationality and Freedom
(Cambridge: Harvard University Press, 2002), 63–66.
[13]
Martha Nussbaum, Upheavals of Thought: The
Intelligence of Emotions (Cambridge: Cambridge University Press, 2001),
387–390.
[14]
Mark Johnson, Moral Imagination: Implications of
Cognitive Science for Ethics (Chicago: University of Chicago Press, 1993),
147–150.
[15]
René Descartes, Meditations on First Philosophy,
trans. John Cottingham (Cambridge: Cambridge University Press, 1996),
Meditation II.
[16]
Maurice Merleau-Ponty, Phenomenology of
Perception, trans. Colin Smith (London: Routledge, 1962), 225–228.
[17]
Jürgen Habermas, The Theory of Communicative
Action, vol. 1 (Boston: Beacon Press, 1984), 286–288.
[18]
Merleau-Ponty, Phenomenology of Perception,
241–243.
[19]
George Lakoff and Rafael Núñez, Where
Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being
(New York: Basic Books, 2000), 32–36.
[20]
Thomas Tymoczko, ed., New Directions in the
Philosophy of Mathematics (Princeton: Princeton University Press, 1998),
203–205.
[21]
Ibid., 206–208.
[22]
Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure
and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 227–230.
[23]
Penelope Maddy, Defending the Axioms: On the
Philosophical Foundations of Set Theory (Oxford: Oxford University Press,
2011), 97–100.
[24]
Otávio Bueno and Øystein Linnebo, eds., New
Waves in Philosophy of Mathematics (Basingstoke: Palgrave Macmillan, 2009),
1–4.
[25]
Paul Ernest, “Mathematics and Human Values,” For
the Learning of Mathematics 3, no. 2 (1983): 39–42.
[26]
James Ladyman, Every Thing Must Go: Metaphysics
Naturalized (Oxford: Oxford University Press, 2007), 121–125.
[27]
Resnik, Mathematics as a Science of Patterns,
221–224.
[28]
Elaine Landry and Jean-Pierre Marquis, “Categories
in Context,” Philosophia Mathematica 13, no. 3 (2005): 345–375.
[29]
Jürgen Habermas, Between Facts and Norms
(Cambridge: MIT Press, 1996), 8–11.
[30]
Luciano Floridi, The Ethics of Information
(Oxford: Oxford University Press, 2013), 200–205.
[31]
Habermas, The Theory of Communicative Action,
291–294.
[32]
Philip Davis and Reuben Hersh, The Mathematical
Experience (Boston: Birkhäuser, 1981), 15–18.
[33]
Roger Penrose, The Emperor’s New Mind
(Oxford: Oxford University Press, 1989), 403–406.
11. Kesimpulan
Filsafat matematika, sebagaimana ditelusuri melalui
seluruh bagian pembahasan, memperlihatkan dirinya bukan sekadar refleksi
terhadap angka dan bentuk, melainkan suatu upaya ontologis, epistemologis,
dan aksiologis untuk memahami hakikat rasionalitas manusia.¹ Ia merupakan
jembatan antara idealitas dan realitas, antara keabadian logika dan dinamika
kehidupan, serta antara kejelasan struktur formal dan kedalaman makna
eksistensial.² Dengan demikian, filsafat matematika tidak hanya berfungsi
menjelaskan dasar pengetahuan ilmiah, tetapi juga membuka horizon etis dan
humanistik bagi keberadaan manusia di dunia yang semakin terkomputasi.
Secara ontologis, matematika menghadirkan
pandangan tentang realitas sebagai tatanan rasional yang dapat dipahami,
meskipun tidak selalu dapat diindra.³ Entitas matematis — bilangan, ruang,
fungsi, dan struktur — bukan sekadar produk bahasa simbolik, tetapi ekspresi
dari keteraturan kosmik yang dihayati oleh kesadaran manusia.⁴ Dalam konteks
ini, kebenaran matematis bersifat relasional: ia tidak eksis di luar manusia,
tetapi juga tidak bergantung sepenuhnya padanya.⁵ Matematika menempati wilayah
antara: ia adalah bentuk eksistensi rasional yang menjembatani dunia ide dan
dunia empiris.
Secara epistemologis, filsafat matematika
menegaskan bahwa pengetahuan matematis merupakan hasil dialog antara logika
formal dan intuisi manusia.⁶ Proses berpikir matematis mencerminkan struktur
kesadaran yang mampu mengabstraksi, menafsirkan, dan memberi makna terhadap
dunia melalui simbol dan deduksi.⁷ Di sinilah terlihat bahwa kebenaran
matematis tidak bersifat statis, melainkan berkembang melalui sejarah,
diskursus, dan praktik komunitas ilmiah.⁸ Rasionalitas matematis, dengan demikian,
bukan hanya produk akal, tetapi juga hasil evolusi budaya dan komunikasi
manusia.
Sementara itu, secara aksiologis, matematika
mengandung nilai-nilai universal yang melampaui kegunaan teknisnya.⁹ Ia
menumbuhkan kejujuran intelektual, konsistensi logis, dan keindahan berpikir —
kualitas yang membentuk karakter ilmuwan dan masyarakat rasional.¹⁰ Dalam era
digital, nilai-nilai ini menjadi semakin penting untuk menjaga agar matematika
tidak tereduksi menjadi instrumen kekuasaan algoritmik, melainkan tetap menjadi
bahasa kebijaksanaan yang menuntun teknologi menuju kemaslahatan manusia.¹¹
Melalui sintesis humanisme matematis,
seluruh dimensi ini berpadu dalam kesadaran bahwa matematika adalah bagian dari
logos manusia yang hidup — rasionalitas yang tidak hanya berpikir,
tetapi juga merasa, menilai, dan bertanggung jawab.¹² Humanisme matematis
menolak dualisme lama antara rasio dan etika, antara kalkulasi dan
kebijaksanaan, serta berupaya meneguhkan pandangan bahwa berpikir secara
matematis berarti berpartisipasi dalam penciptaan makna yang lebih luas tentang
kehidupan.¹³
Pada akhirnya, filsafat matematika mengajarkan
bahwa rasionalitas sejati bukanlah sekadar kemampuan menghitung kebenaran,
tetapi kemampuan memaknai kebenaran dalam konteks kemanusiaan dan kosmos.¹⁴
Matematika, dengan segala keabstrakannya, adalah bentuk tertinggi dari
spiritualitas rasional: ia mengungkapkan bahwa di balik struktur angka terdapat
harmoni, dan di balik formula terdapat nilai.¹⁵ Dengan demikian, masa depan
filsafat matematika terletak pada kemampuannya untuk menjadi filsafat yang
berpikir secara tepat dan bertindak secara baik — suatu rasionalitas yang
integral, etis, dan humanistik.¹⁶
Footnotes
[1]
Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 259–261.
[2]
Philip Kitcher, The Nature of Mathematical
Knowledge (New York: Oxford University Press, 1984), 177–179.
[3]
Michael Resnik, Mathematics as a Science of
Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 12–15.
[4]
Immanuel Kant, Critique of Pure Reason,
trans. Paul Guyer and Allen W. Wood (Cambridge: Cambridge University Press,
1998), A713/B741–A722/B750.
[5]
Paul Ernest, Social Constructivism as a
Philosophy of Mathematics (Albany: SUNY Press, 1998), 118–120.
[6]
Edmund Husserl, Logical Investigations,
trans. J. N. Findlay (London: Routledge, 1970), 187–190.
[7]
Hermann Weyl, Philosophy of Mathematics and
Natural Science (Princeton: Princeton University Press, 1949), 56–58.
[8]
Imre Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic
of Mathematical Discovery (Cambridge: Cambridge University Press, 1976),
9–12.
[9]
Bertrand Russell, Mysticism and Logic
(London: Longmans, Green and Co., 1917), 59–61.
[10]
Philip Davis and Reuben Hersh, The Mathematical Experience
(Boston: Birkhäuser, 1981), 17–19.
[11]
Luciano Floridi, The Ethics of Information
(Oxford: Oxford University Press, 2013), 200–203.
[12]
Elaine Landry, Categories for the Working
Philosopher (Oxford: Oxford University Press, 2017), 202–205.
[13]
Martha Nussbaum, Cultivating Humanity
(Cambridge: Harvard University Press, 1997), 55–59.
[14]
Jürgen Habermas, The Theory of Communicative
Action, vol. 1 (Boston: Beacon Press, 1984), 286–288.
[15]
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete
Guide to the Laws of the Universe (New York: Knopf, 2004), 17–20.
[16]
Mark Johnson, Moral Imagination: Implications of
Cognitive Science for Ethics (Chicago: University of Chicago Press, 1993),
147–150.
Daftar Pustaka
Anderson, C. (2008). The end of theory. Wired
Magazine, 16(7), 108–109.
Aristotle. (1908). Metaphysics (W. D. Ross,
Trans.). Oxford: Clarendon Press.
Aristotle. (1938). Organon (E. S. Forster,
Trans.). Cambridge, MA: Harvard University Press.
Barthes, R. (1967). Elements of semiology
(A. Lavers & C. Smith, Trans.). New York, NY: Hill and Wang.
Bostrom, N. (2014). Superintelligence: Paths,
dangers, strategies. Oxford: Oxford University Press.
Brown, J. R. (2008). Philosophy of mathematics:
A contemporary introduction to the world of proofs and pictures. London:
Routledge.
Bueno, O., & Linnebo, Ø. (Eds.). (2009). New
waves in philosophy of mathematics. Basingstoke: Palgrave Macmillan.
Burkert, W. (1972). Lore and science in ancient
Pythagoreanism. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Camus, A. (1955). The myth of Sisyphus (J.
O’Brien, Trans.). New York, NY: Vintage.
Cartwright, N. (1983). How the laws of physics
lie. Oxford: Oxford University Press.
Cassirer, E. (1923). Substance and function.
Chicago, IL: Open Court.
Cassirer, E. (1957). The philosophy of symbolic
forms (Vol. 3). New Haven, CT: Yale University Press.
Chomsky, N. (1957). Syntactic structures.
The Hague: Mouton.
Clark, A. (1997). Being there: Putting brain,
body, and world together again. Cambridge, MA: MIT Press.
D’Ambrosio, U. (2006). Ethnomathematics: Link
between traditions and modernity. Rotterdam: Sense Publishers.
Davis, P., & Hersh, R. (1981). The
mathematical experience. Boston, MA: Birkhäuser.
Descartes, R. (1996). Meditations on first
philosophy (J. Cottingham, Trans.). Cambridge: Cambridge University Press.
Dirac, P. (1978). Directions in physics. New
York, NY: Wiley.
Dreyfus, H. (1992). What computers still can’t
do: A critique of artificial reason. Cambridge, MA: MIT Press.
Dummett, M. (1977). Elements of intuitionism.
Oxford: Clarendon Press.
Eco, U. (1976). A theory of semiotics.
Bloomington, IN: Indiana University Press.
Einstein, A. (1920). Relativity: The special and
general theory. New York, NY: Crown.
Ernest, P. (1983). Mathematics and human values. For
the Learning of Mathematics, 3(2), 39–42.
Ernest, P. (1998). Social constructivism as a
philosophy of mathematics. Albany, NY: SUNY Press.
Eubanks, V. (2018). Automating inequality: How
high-tech tools profile, police, and punish the poor. New York, NY: St.
Martin’s Press.
Floridi, L. (1999). Information ethics: Its nature
and scope. Computers and Society, 4(3), 37–41.
Floridi, L. (2010). Information: A very short
introduction. Oxford: Oxford University Press.
Floridi, L. (2013). The ethics of information.
Oxford: Oxford University Press.
Floridi, L. (2014). The fourth revolution: How
the infosphere is reshaping human reality. Oxford: Oxford University Press.
Frege, G. (1879). Begriffsschrift. Halle:
Nebert.
Frege, G. (1980). The foundations of arithmetic
(J. L. Austin, Trans.). Evanston, IL: Northwestern University Press.
Friedman, M. (1983). Foundations of space-time
theories. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Galilei, G. (1623). Il saggiatore. Rome:
Accademia dei Lincei.
Gadamer, H.-G. (1989). Truth and method (J.
Weinsheimer & D. G. Marshall, Trans.). New York, NY: Continuum.
Gleick, J. (2011). The information: A history, a
theory, a flood. New York, NY: Pantheon.
Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze
der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für
Mathematik und Physik, 38, 173–198.
Habermas, J. (1984). The theory of communicative
action (Vol. 1). Boston, MA: Beacon Press.
Habermas, J. (1996). Between facts and norms.
Cambridge, MA: MIT Press.
Harding, S. (1986). The science question in
feminism. Ithaca, NY: Cornell University Press.
Heidegger, M. (1977). The question concerning
technology (W. Lovitt, Trans.). New York, NY: Harper & Row.
Hilbert, D. (1926). Über das Unendliche. Mathematische
Annalen, 95(1), 161–190.
Hilbert, D. (1967). The foundations of mathematics.
In J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel: A source book in
mathematical logic, 1879–1931 (pp. 464–479). Cambridge, MA: Harvard
University Press.
Holton, G. (1973). Thematic origins of
scientific thought. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Husserl, E. (1970). The crisis of European
sciences and transcendental phenomenology (D. Carr, Trans.). Evanston, IL:
Northwestern University Press.
Husserl, E. (1970). Logical investigations
(J. N. Findlay, Trans.). London: Routledge.
Johnson, M. (1993). Moral imagination:
Implications of cognitive science for ethics. Chicago, IL: University of
Chicago Press.
Joseph, G. G. (2011). The crest of the peacock:
Non-European roots of mathematics (3rd ed.). Princeton, NJ: Princeton
University Press.
Kant, I. (1998). Critique of pure reason (P.
Guyer & A. W. Wood, Trans.). Cambridge: Cambridge University Press.
Keller, E. F. (1985). Reflections on gender and
science. New Haven, CT: Yale University Press.
Kitcher, P. (1984). The nature of mathematical
knowledge. New York, NY: Oxford University Press.
Kripke, S. (1982). Wittgenstein on rules and
private language. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Kuhn, T. S. (1970). The structure of scientific
revolutions (2nd ed.). Chicago, IL: University of Chicago Press.
Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations: The
logic of mathematical discovery. Cambridge: Cambridge University Press.
Lakatos, I. (1978). The methodology of
scientific research programmes. Cambridge: Cambridge University Press.
Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where
mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being.
New York, NY: Basic Books.
Landry, E. (2017). Categories for the working
philosopher. Oxford: Oxford University Press.
Landry, E., & Marquis, J.-P. (2005). Categories
in context. Philosophia Mathematica, 13(3), 345–375.
Ladyman, J. (2007). Every thing must go:
Metaphysics naturalized. Oxford: Oxford University Press.
Latour, B., & Woolgar, S. (1979). Laboratory
life: The construction of scientific facts. Princeton, NJ: Princeton
University Press.
Lyotard, J.-F. (1984). The postmodern condition:
A report on knowledge (G. Bennington & B. Massumi, Trans.).
Minneapolis: University of Minnesota Press.
MacKenzie, D. (2001). Mechanizing proof:
Computing, risk, and trust. Cambridge, MA: MIT Press.
Maddy, P. (2011). Defending the axioms: On the
philosophical foundations of set theory. Oxford: Oxford University Press.
Mayer-Schönberger, V., & Cukier, K. (2013). Big
data: A revolution that will transform how we live, work, and think.
Boston, MA: Houghton Mifflin Harcourt.
Merleau-Ponty, M. (1962). Phenomenology of perception
(C. Smith, Trans.). London: Routledge.
Merton, R. (1973). The sociology of science:
Theoretical and empirical investigations. Chicago, IL: University of
Chicago Press.
Mohanty, J. N. (1982). Husserl and Frege.
Bloomington, IN: Indiana University Press.
Morgan, M. S., & Morrison, M. (Eds.). (1999). Models
as mediators: Perspectives on natural and social science. Cambridge:
Cambridge University Press.
Morozov, E. (2013). To save everything, click
here: The folly of technological solutionism. New York, NY: PublicAffairs.
Murray, J. D. (2002). Mathematical biology.
Berlin: Springer.
Nussbaum, M. (1997). Cultivating humanity.
Cambridge, MA: Harvard University Press.
Nussbaum, M. (2001). Upheavals of thought: The
intelligence of emotions. Cambridge: Cambridge University Press.
O’Neil, C. (2016). Weapons of math destruction:
How big data increases inequality and threatens democracy. New York, NY:
Crown.
Peirce, C. S. (1932). Collected papers of
Charles Sanders Peirce (Vol. 2, C. Hartshorne & P. Weiss, Eds.).
Cambridge, MA: Harvard University Press.
Penrose, R. (1989). The emperor’s new mind.
Oxford: Oxford University Press.
Penrose, R. (1994). Shadows of the mind: A
search for the missing science of consciousness. Oxford: Oxford University
Press.
Penrose, R. (2004). The road to reality: A
complete guide to the laws of the universe. New York, NY: Knopf.
Plato. (1968). The Republic (A. Bloom,
Trans.). New York, NY: Basic Books.
Psillos, S. (1999). Scientific realism: How
science tracks truth. London: Routledge.
Putnam, H. (1971). Philosophy of logic. New
York, NY: Harper.
Putnam, H. (1979). Mathematics, matter and
method (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
Resnik, M. (1997). Mathematics as a science of
patterns. Oxford: Oxford University Press.
Rorty, R. (1979). Philosophy and the mirror of
nature. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Russell, B. (1917). Mysticism and logic.
London: Longmans, Green and Co.
Russell, B. (1919). Introduction to mathematical
philosophy. London: Allen & Unwin.
Russell, B., & Whitehead, A. N. (1910). Principia
mathematica (Vol. 1). Cambridge: Cambridge University Press.
Saussure, F. de. (1966). Course in general
linguistics (W. Baskin, Trans.). New York, NY: McGraw-Hill.
Salmon, W. C. (1984). Scientific explanation and
the causal structure of the world. Princeton, NJ: Princeton University
Press.
Sartre, J.-P. (1956). Being and nothingness
(H. E. Barnes, Trans.). New York, NY: Philosophical Library.
Searle, J. (1980). Minds, brains, and programs. Behavioral
and Brain Sciences, 3(3), 417–457.
Sen, A. (2002). Rationality and freedom.
Cambridge, MA: Harvard University Press.
Shapiro, S. (1997). Philosophy of mathematics:
Structure and ontology. Oxford: Oxford University Press.
Shapiro, S. (2000). Thinking about mathematics:
The philosophy of mathematics. Oxford: Oxford University Press.
Smullyan, R. (1992). Gödel’s incompleteness
theorems. Oxford: Oxford University Press.
Steiner, M. (1975). Mathematical knowledge.
Ithaca, NY: Cornell University Press.
Tarski, A. (1956). Logic, semantics,
metamathematics. Oxford: Clarendon Press.
Tymoczko, T. (Ed.). (1998). New directions in
the philosophy of mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press.
van Fraassen, B. C. (1980). The scientific image.
Oxford: Oxford University Press.
Varela, F., Thompson, E., & Rosch, E. (1991). The
embodied mind: Cognitive science and human experience. Cambridge, MA: MIT
Press.
von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory
of games and economic behavior. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Wang, H. (1974). From mathematics to philosophy.
London: Routledge.
Weyl, H. (1949). Philosophy of mathematics and
natural science. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Wiener, N. (1948). Cybernetics: Or control and
communication in the animal and the machine. Cambridge, MA: MIT Press.
Wittgenstein, L. (1922). Tractatus
logico-philosophicus (C. K. Ogden, Trans.). London: Routledge.
Wittgenstein, L. (1978). Remarks on the
foundations of mathematics (G. H. von Wright et al., Eds.). Cambridge, MA:
MIT Press.
Zuboff, S. (2019). The age of surveillance
capitalism. New York, NY: PublicAffairs.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar