PEMDAS dan BODMAS: Urutan Operasi dalam Matematika Global

PEMDAS dan BODMAS

Sejarah, Prinsip, dan Peran Urutan Operasi dala Menjamin Konsistensi Matematika Global

---

Alihkan ke: Filsafat Matematika.

---

Abstrak

Urutan operasi merupakan salah satu prinsip fundamental dalam matematika yang berfungsi untuk menjamin konsistensi dan kejelasan dalam proses perhitungan. Secara internasional, prinsip ini dikenal melalui berbagai akronim pedagogis, terutama PEMDAS yang umum digunakan di Amerika Serikat dan BODMAS yang banyak digunakan di Inggris serta negara-negara Persemakmuran. Artikel ini bertujuan mengkaji secara komprehensif konsep, sejarah, dasar logis, dimensi filosofis, peran pendidikan, serta relevansi kontemporer dari PEMDAS dan BODMAS. Penelitian dilakukan melalui pendekatan studi kepustakaan (library research) dengan menelaah literatur matematika, filsafat matematika, sejarah sains, pendidikan matematika, dan ilmu komputer. Hasil kajian menunjukkan bahwa PEMDAS dan BODMAS bukanlah sistem matematika yang berbeda, melainkan dua representasi pedagogis dari prinsip urutan operasi yang sama. Perbedaan keduanya terutama terletak pada terminologi dan tradisi pendidikan yang melatarbelakanginya. Kajian historis menunjukkan bahwa aturan urutan operasi berkembang secara bertahap seiring evolusi notasi matematika dari bentuk retoris menuju simbolik. Dari perspektif filosofis, urutan operasi dapat dipahami sebagai konvensi formal yang berfungsi menjaga koherensi sintaksis dan semantis dalam bahasa matematika. Dalam bidang pendidikan, PEMDAS dan BODMAS berperan sebagai alat bantu pembelajaran yang efektif, meskipun penggunaannya perlu disertai pemahaman konseptual agar tidak terjebak pada hafalan prosedural. Selain itu, prinsip urutan operasi memiliki penerapan luas dalam sains, teknologi, komputasi, kecerdasan buatan, dan komunikasi ilmiah global. Fenomena soal matematika viral di media sosial menunjukkan bahwa banyak kontroversi yang muncul lebih disebabkan oleh notasi yang ambigu dan kesalahpahaman terhadap prioritas operasi daripada kelemahan aturan itu sendiri. Oleh karena itu, PEMDAS dan BODMAS tetap relevan sebagai fondasi penting yang mendukung universalitas matematika sebagai bahasa ilmiah dalam masyarakat global modern.

Kata Kunci: PEMDAS, BODMAS, urutan operasi, matematika, filsafat matematika, pendidikan matematika, logika matematika, notasi matematika, komputasi, literasi numerik.

---

PEMBAHASAN

Urutan Operasi dalam Matematika Global

---

1.          Pendahuluan

1.1.       Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu bahasa universal yang digunakan untuk menggambarkan pola, hubungan, dan struktur yang terdapat dalam berbagai fenomena alam maupun aktivitas manusia. Agar komunikasi matematis dapat berlangsung secara konsisten dan tidak menimbulkan ambiguitas, diperlukan seperangkat aturan yang disepakati secara luas oleh komunitas ilmiah. Salah satu aturan fundamental dalam matematika adalah aturan urutan operasi (order of operations), yaitu konvensi yang menentukan urutan pengerjaan berbagai operasi aritmetika dalam suatu ekspresi matematika.¹

Tanpa adanya aturan urutan operasi, suatu ekspresi matematika dapat menghasilkan lebih dari satu jawaban yang berbeda tergantung pada cara seseorang melakukan perhitungan. Sebagai contoh, ekspresi 8 + 2 × 5 dapat menghasilkan nilai 18 apabila perkalian dilakukan terlebih dahulu, atau nilai 50 apabila penjumlahan dilakukan terlebih dahulu. Keberadaan dua kemungkinan hasil yang berbeda tersebut menunjukkan perlunya suatu standar yang dapat menjamin keseragaman interpretasi dan hasil perhitungan.²

Dalam praktik pendidikan modern, aturan urutan operasi umumnya dikenal melalui akronim PEMDAS di Amerika Serikat dan BODMAS di Inggris serta berbagai negara Persemakmuran. PEMDAS merupakan singkatan dari Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, dan Subtraction, sedangkan BODMAS merupakan singkatan dari Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, dan Subtraction. Meskipun menggunakan istilah yang berbeda, kedua sistem tersebut pada dasarnya merujuk pada prinsip matematika yang sama, yaitu menentukan prioritas operasi sehingga setiap ekspresi matematika dapat dievaluasi secara konsisten.³

Penerapan aturan urutan operasi tidak hanya terbatas pada pendidikan dasar dan menengah, tetapi juga menjadi fondasi bagi berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dalam ilmu fisika, teknik, ekonomi, statistika, hingga ilmu komputer, keakuratan perhitungan sangat bergantung pada interpretasi yang benar terhadap struktur ekspresi matematika. Bahkan bahasa pemrograman modern mengimplementasikan prinsip yang serupa melalui mekanisme prioritas operator (operator precedence) untuk memastikan bahwa komputer melakukan perhitungan sesuai dengan kaidah matematika yang berlaku.⁴

Meskipun demikian, pemahaman masyarakat terhadap PEMDAS maupun BODMAS masih sering menimbulkan kebingungan. Fenomena soal-soal matematika viral di media sosial menunjukkan bahwa banyak orang memahami akronim tersebut secara harfiah dan menganggap bahwa perkalian selalu harus didahulukan daripada pembagian, atau penjumlahan selalu harus didahulukan daripada pengurangan. Padahal, dalam aturan matematika modern, perkalian dan pembagian memiliki tingkat prioritas yang sama, demikian pula penjumlahan dan pengurangan, sehingga pengerjaannya dilakukan dari kiri ke kanan sesuai urutan kemunculannya dalam ekspresi.⁵

Oleh karena itu, kajian mengenai PEMDAS dan BODMAS tidak hanya penting untuk memahami prosedur perhitungan yang benar, tetapi juga untuk mengkaji dasar historis, logis, filosofis, dan pedagogis yang melatarbelakangi lahirnya aturan tersebut. Dengan memahami prinsip-prinsip yang mendasarinya, peserta didik maupun masyarakat umum dapat menghindari kesalahan konseptual dan memperoleh pemahaman yang lebih mendalam mengenai struktur matematika sebagai sistem pengetahuan yang koheren dan universal.

1.2.       Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, kajian ini dirumuskan dalam beberapa pertanyaan penelitian sebagai berikut:

1)                  Apa yang dimaksud dengan aturan urutan operasi dalam matematika?

2)                  Bagaimana konsep dan mekanisme kerja PEMDAS serta BODMAS?

3)                  Apa persamaan dan perbedaan antara PEMDAS dan BODMAS?

4)                  Bagaimana sejarah perkembangan aturan urutan operasi dalam matematika?

5)                  Mengapa aturan urutan operasi menjadi penting dalam pendidikan, sains, dan teknologi modern?

6)                  Bagaimana relevansi PEMDAS dan BODMAS dalam konteks matematika global kontemporer?

1.3.       Tujuan Kajian

Kajian ini bertujuan untuk:

1)                  Menjelaskan konsep dasar urutan operasi dalam matematika.

2)                  Mendeskripsikan prinsip-prinsip yang terkandung dalam PEMDAS dan BODMAS.

3)                  Menganalisis persamaan dan perbedaan kedua sistem tersebut.

4)                  Mengkaji perkembangan historis aturan urutan operasi dari masa ke masa.

5)                  Menjelaskan dasar logis dan filosofis yang mendukung penerapan urutan operasi.

6)                  Mengevaluasi peran dan relevansi aturan tersebut dalam pendidikan, sains, dan teknologi modern.

1.4.       Metode Kajian

Artikel ini menggunakan metode studi kepustakaan (library research) dengan menelaah berbagai sumber primer dan sekunder yang berkaitan dengan sejarah matematika, teori notasi matematika, pendidikan matematika, serta filsafat matematika. Data diperoleh melalui analisis literatur akademik, buku teks matematika, karya sejarah matematika, dan publikasi ilmiah yang relevan.

Pendekatan yang digunakan bersifat deskriptif-analitis. Pendekatan deskriptif digunakan untuk memaparkan konsep, sejarah, dan mekanisme PEMDAS maupun BODMAS, sedangkan pendekatan analitis digunakan untuk membandingkan kedua sistem tersebut serta mengevaluasi implikasinya dalam konteks pendidikan dan perkembangan ilmu pengetahuan modern. Dengan pendekatan ini diharapkan diperoleh pemahaman yang komprehensif mengenai peran aturan urutan operasi sebagai salah satu fondasi penting dalam praktik matematika kontemporer.

---

Footnotes

[1]                ¹ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 1–5.

[2]                ² Margaret E. Baron, The Origins of the Infinitesimal Calculus (New York: Dover Publications, 1969), 18–20.

[3]                ³ Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–69.

[4]                ⁴ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–7.

[5]                ⁵ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–53.

---

2.          Konsep Dasar Urutan Operasi dalam Matematika

2.1.       Pengertian Urutan Operasi (Order of Operations)

Urutan operasi (order of operations) merupakan seperangkat aturan yang digunakan untuk menentukan langkah-langkah pengerjaan dalam suatu ekspresi matematika yang memuat lebih dari satu jenis operasi. Aturan ini berfungsi sebagai konvensi universal yang memastikan setiap orang memperoleh hasil yang sama ketika mengevaluasi suatu ekspresi matematika. Tanpa adanya aturan tersebut, berbagai operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan dapat dilakukan dalam urutan yang berbeda-beda sehingga menghasilkan jawaban yang tidak konsisten.¹

Dalam matematika modern, urutan operasi umumnya menempatkan tanda kurung sebagai prioritas tertinggi, diikuti oleh perpangkatan atau bentuk operasi sejenis, kemudian perkalian dan pembagian, serta terakhir penjumlahan dan pengurangan. Meskipun terdapat berbagai akronim yang digunakan di berbagai negara, seperti PEMDAS, BODMAS, BEDMAS, dan BIDMAS, seluruh sistem tersebut pada dasarnya merujuk pada prinsip yang sama.²

Urutan operasi merupakan bagian dari sistem notasi matematika yang berkembang secara historis untuk meningkatkan kejelasan komunikasi matematis. Seiring berkembangnya aljabar simbolik sejak abad ke-16 dan ke-17, para matematikawan menyadari perlunya standar yang dapat menghilangkan ambiguitas dalam penulisan dan interpretasi ekspresi matematika. Oleh karena itu, urutan operasi tidak hanya berfungsi sebagai aturan teknis, tetapi juga sebagai instrumen penting dalam menjaga konsistensi logis dalam matematika.³

2.2.       Mengapa Urutan Operasi Diperlukan?

Keberadaan urutan operasi diperlukan karena banyak ekspresi matematika dapat ditafsirkan dengan lebih dari satu cara apabila tidak tersedia aturan yang mengaturnya. Sebagai contoh, ekspresi:

6 + 3 × 4

dapat menghasilkan dua jawaban berbeda. Jika penjumlahan dilakukan terlebih dahulu, hasilnya adalah:

(6 + 3) × 4 = 36

Namun, jika perkalian dilakukan terlebih dahulu, hasilnya menjadi:

6 + (3 × 4) = 18

Tanpa adanya konvensi yang disepakati, tidak ada alasan objektif untuk memilih salah satu hasil tersebut dibandingkan hasil lainnya. Oleh sebab itu, komunitas matematika menetapkan aturan bahwa perkalian dan pembagian memiliki prioritas lebih tinggi dibandingkan penjumlahan dan pengurangan.⁴

Konsistensi ini sangat penting karena matematika digunakan sebagai bahasa formal dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Fisika, kimia, ekonomi, statistika, teknik, dan ilmu komputer bergantung pada representasi matematis yang harus dipahami secara identik oleh semua pihak. Kesalahan interpretasi terhadap urutan operasi dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan ilmiah, analisis data, maupun pengembangan teknologi.⁵

Selain itu, urutan operasi juga mendukung efisiensi komunikasi. Dengan adanya aturan yang telah disepakati, seorang matematikawan tidak perlu menambahkan tanda kurung pada setiap bagian ekspresi untuk menjelaskan maksudnya. Sebagai contoh, ekspresi:

2 + 3 × 5

secara otomatis dipahami sebagai:

2 + (3 × 5)

tanpa memerlukan penjelasan tambahan. Dengan demikian, notasi matematika menjadi lebih ringkas sekaligus tetap akurat.⁶

2.3.       Prinsip Dasar dalam Urutan Operasi

Urutan operasi didasarkan pada konsep prioritas (precedence) dan asosiasi (associativity). Prioritas menentukan operasi mana yang harus dilakukan terlebih dahulu, sedangkan asosiasi menentukan arah pengerjaan apabila dua operasi memiliki tingkat prioritas yang sama.⁷

Secara umum, urutan operasi dalam matematika modern dapat diringkas sebagai berikut:

1)                  Menyelesaikan operasi di dalam tanda kurung.

2)                  Menyelesaikan perpangkatan atau operasi sejenis.

3)                  Menyelesaikan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan.

4)                  Menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan.

Poin yang sering disalahpahami adalah bahwa perkalian tidak memiliki prioritas lebih tinggi daripada pembagian. Keduanya memiliki kedudukan yang sama sehingga harus dikerjakan berdasarkan urutan kemunculannya dari kiri ke kanan. Hal yang sama berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan.⁸

Sebagai ilustrasi, perhatikan ekspresi berikut:

24 ÷ 6 × 2

Karena pembagian dan perkalian memiliki prioritas yang sama, pengerjaan dilakukan dari kiri ke kanan:

24 ÷ 6 = 4

kemudian:

4 × 2 = 8

Hasil akhirnya adalah 8, bukan 2. Kesalahan dalam memahami prinsip ini sering menjadi sumber perdebatan dalam berbagai soal matematika populer di media sosial.⁹

2.4.       Contoh Permasalahan Tanpa Aturan Urutan Operasi

Untuk memahami pentingnya urutan operasi, perlu dipertimbangkan bagaimana matematika akan berfungsi apabila aturan tersebut tidak ada. Misalnya, ekspresi:

10 – 2 × 3

dapat ditafsirkan dengan dua cara berbeda:

Cara pertama:

(10 − 2) × 3 = 24

Cara kedua:

10 − (2 × 3) = 4

Kedua hasil tersebut tidak mungkin benar secara bersamaan. Jika setiap orang bebas memilih prosedur yang berbeda, maka matematika akan kehilangan sifat objektif dan universalnya.¹⁰

Masalah yang sama akan muncul dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebuah program komputer yang menafsirkan ekspresi matematika secara berbeda dari program lain dapat menghasilkan data yang tidak konsisten. Dalam bidang teknik, kesalahan interpretasi tersebut bahkan berpotensi menyebabkan kegagalan desain dan perhitungan yang berdampak serius terhadap keselamatan. Oleh karena itu, standarisasi urutan operasi menjadi bagian penting dari perkembangan matematika modern dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.¹¹

Pada akhirnya, urutan operasi bukan sekadar aturan hafalan yang diajarkan di sekolah, melainkan mekanisme formal yang memungkinkan matematika berfungsi sebagai bahasa universal. Melalui aturan tersebut, ekspresi matematika dapat dipahami secara seragam oleh para pelajar, ilmuwan, insinyur, maupun sistem komputer di seluruh dunia. Dengan demikian, urutan operasi merupakan salah satu fondasi mendasar yang menopang konsistensi, ketepatan, dan objektivitas matematika sebagai disiplin ilmu.

---

Footnotes

[1]                ¹ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 3–7.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–70.

[3]                ³ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1 (New York: Dover Publications, 1993), 269–278.

[4]                ⁴ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–52.

[5]                ⁵ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[6]                ⁶ G. Polya, How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, 2nd ed. (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957), 21–24.

[7]                ⁷ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–17.

[8]                ⁸ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[9]                ⁹ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[10]             ¹⁰ Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press, 1980), 27–29.

[11]             ¹¹ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics, 5–8.

---

3.          PEMDAS: Sistem yang Umum Digunakan di Amerika Serikat

3.1.       Definisi PEMDAS

PEMDAS merupakan salah satu akronim yang paling dikenal dalam pendidikan matematika di Amerika Serikat untuk membantu siswa memahami urutan operasi (order of operations). Akronim ini terdiri atas enam unsur, yaitu Parentheses (tanda kurung), Exponents (perpangkatan), Multiplication (perkalian), Division (pembagian), Addition (penjumlahan), dan Subtraction (pengurangan).¹ Melalui akronim tersebut, siswa diajarkan bahwa suatu ekspresi matematika harus diselesaikan dengan mengikuti urutan prioritas tertentu sehingga hasil yang diperoleh bersifat konsisten dan dapat diterima secara universal.

PEMDAS bukanlah aturan matematika yang berdiri sendiri, melainkan alat bantu pedagogis (mnemonic device) untuk mengingat prinsip-prinsip yang telah lama digunakan dalam matematika formal. Dalam praktiknya, aturan ini menjadi bagian penting dalam kurikulum sekolah dasar dan menengah di Amerika Serikat karena membantu peserta didik memahami bagaimana berbagai operasi matematika saling berhubungan dalam suatu ekspresi.²

Sebagai contoh, perhatikan ekspresi berikut:

3 + 4 × 5

Menurut aturan PEMDAS, operasi perkalian harus diselesaikan terlebih dahulu:

4 × 5 = 20

kemudian:

3 + 20 = 23

Dengan demikian, hasil yang benar adalah 23, bukan 35.³

Meskipun tampak sederhana, aturan ini memainkan peranan penting dalam memastikan bahwa ekspresi matematika dapat dipahami secara seragam oleh semua orang, baik dalam lingkungan pendidikan maupun dalam penerapan ilmiah dan teknologis.

3.2.       Komponen-Komponen PEMDAS

3.2.1.    Parentheses (Tanda Kurung)

Tanda kurung memiliki prioritas tertinggi dalam PEMDAS. Semua operasi yang berada di dalam tanda kurung harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum melanjutkan ke bagian ekspresi lainnya.⁴

Sebagai contoh:

(8 + 2) × 5

Langkah pertama adalah menyelesaikan operasi di dalam tanda kurung:

8 + 2 = 10

Kemudian:

10 × 5 = 50

Tanda kurung berfungsi untuk mengubah prioritas operasi sehingga penulis dapat secara eksplisit menunjukkan bagian mana yang harus dihitung terlebih dahulu.

3.2.2.    Exponents (Perpangkatan)

Setelah tanda kurung diselesaikan, langkah berikutnya adalah menghitung perpangkatan atau eksponen. Operasi ini melibatkan pengulangan perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri sesuai nilai pangkatnya.⁵

Contoh:

2³ + 4

Karena perpangkatan memiliki prioritas lebih tinggi daripada penjumlahan, maka:

2³ = 8

sehingga:

8 + 4 = 12

Selain pangkat bulat positif, kategori eksponen juga mencakup akar, pangkat pecahan, dan bentuk eksponensial lainnya dalam matematika lanjutan.

3.2.3.    Multiplication dan Division (Perkalian dan Pembagian)

Setelah menyelesaikan tanda kurung dan eksponen, operasi perkalian dan pembagian dilakukan. Dalam matematika modern, kedua operasi ini memiliki tingkat prioritas yang sama. Oleh karena itu, pengerjaan dilakukan berdasarkan urutan kemunculannya dari kiri ke kanan.⁶

Misalnya:

24 ÷ 6 × 2

Langkah pertama:

24 ÷ 6 = 4

Kemudian:

4 × 2 = 8

Hasil akhirnya adalah 8.

Pemahaman bahwa perkalian dan pembagian memiliki prioritas yang sama merupakan salah satu aspek yang sering disalahpahami oleh siswa maupun masyarakat umum.

3.2.4.    Addition dan Subtraction (Penjumlahan dan Pengurangan)

Tahap terakhir dalam PEMDAS adalah menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan. Sama seperti perkalian dan pembagian, kedua operasi ini memiliki tingkat prioritas yang sama sehingga dikerjakan dari kiri ke kanan.⁷

Sebagai contoh:

15 - 5 + 2

Langkah pertama:

15 - 5 = 10

Kemudian:

10 + 2 = 12

Hasil akhirnya adalah 12.

Prinsip kiri-ke-kanan menjadi kunci untuk memperoleh hasil yang benar ketika dua operasi memiliki prioritas yang sama.

3.3.       Makna Sebenarnya dari PEMDAS

Salah satu kesalahpahaman paling umum mengenai PEMDAS adalah anggapan bahwa huruf M (Multiplication) selalu harus dilakukan sebelum huruf D (Division), dan huruf A (Addition) selalu harus dilakukan sebelum huruf S (Subtraction). Interpretasi ini muncul karena banyak orang memahami akronim tersebut secara harfiah berdasarkan urutan huruf-hurufnya.⁸

Padahal, dalam matematika formal, perkalian dan pembagian merupakan operasi dengan tingkat prioritas yang sama. Demikian pula penjumlahan dan pengurangan. Akronim PEMDAS hanya digunakan sebagai alat bantu mengingat, bukan sebagai representasi hierarki yang kaku antarhuruf.

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan ekspresi berikut:

18 ÷ 3 × 2

Jika seseorang menganggap perkalian harus selalu didahulukan, ia mungkin menghitung:

18 ÷ (3 × 2) = 3

Namun menurut aturan matematika yang benar:

18 ÷ 3 = 6

kemudian:

6 × 2 = 12

Sehingga hasil yang benar adalah 12.⁹

Prinsip yang sama berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan. Karena keduanya memiliki prioritas yang setara, urutan pengerjaan harus mengikuti arah baca dari kiri ke kanan.

3.4.       Contoh Penerapan PEMDAS

Untuk memahami implementasi PEMDAS secara lebih jelas, berikut beberapa contoh penerapan.

Contoh 1: Operasi Dasar

5 + 2 × 4

Perkalian diselesaikan terlebih dahulu:

2 × 4 = 8

Kemudian:

5 + 8 = 13

Jadi hasilnya adalah:

13

Contoh 2: Melibatkan Tanda Kurung

(5 + 2) × 4

Tanda kurung terlebih dahulu:

5 + 2 = 7

Kemudian:

7 × 4 = 28

Hasilnya adalah:

28

Contoh 3: Melibatkan Eksponen

3 + 2³ × 2

Eksponen terlebih dahulu:

2³ = 8

Kemudian perkalian:

8 × 2 = 16

Lalu penjumlahan:

3 + 16 = 19

Hasil akhirnya adalah:

19

Contoh 4: Operasi Kompleks

(12 − 4)² ÷ 8 + 3

Langkah pertama:

12 - 4 = 8

Sehingga:

8² ÷ 8 + 3

Kemudian:

8² = 64

Selanjutnya:

64 ÷ 8 = 8

Dan terakhir:

8 + 3 = 11

Hasil akhirnya adalah:

11

Contoh-contoh tersebut menunjukkan bahwa penerapan PEMDAS memungkinkan ekspresi matematika yang kompleks diselesaikan secara sistematis dan konsisten.

3.5.       Peran PEMDAS dalam Pendidikan Matematika Amerika Serikat

Dalam sistem pendidikan Amerika Serikat, PEMDAS telah menjadi bagian penting dari pembelajaran aritmetika dan aljabar sejak tingkat sekolah dasar. Tujuan utamanya bukan sekadar menghafalkan urutan operasi, melainkan membantu siswa memahami struktur logis suatu ekspresi matematika.¹⁰

Berbagai penelitian pendidikan menunjukkan bahwa pemahaman konseptual terhadap urutan operasi berkontribusi terhadap keberhasilan siswa dalam mempelajari aljabar, fungsi, serta matematika tingkat lanjut. Sebaliknya, pemahaman yang hanya bersifat hafalan sering kali menimbulkan kesalahan ketika siswa menghadapi ekspresi yang lebih kompleks.¹¹ Oleh karena itu, pendekatan pedagogis modern semakin menekankan pemahaman makna di balik PEMDAS, bukan sekadar kemampuan mengingat akronimnya.

Dengan demikian, PEMDAS dapat dipahami sebagai alat bantu pendidikan yang merepresentasikan prinsip universal urutan operasi dalam matematika. Meskipun berkembang dan populer di Amerika Serikat, esensi aturan yang dikandungnya bersifat internasional dan sejalan dengan sistem lain seperti BODMAS, BEDMAS, maupun BIDMAS.

---

Footnotes

[1]                ¹ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–50.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–70.

[3]                ³ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 5–7.

[4]                ⁴ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–54.

[5]                ⁵ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[6]                ⁶ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–7.

[7]                ⁷ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[8]                ⁸ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[9]                ⁹ Paul Lockhart, Arithmetic, 71–73.

[10]             ¹⁰ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 32–35.

[11]             ¹¹ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

---

4.          BODMAS: Sistem yang Umum Digunakan di Inggris dan Negara Persemakmuran

4.1.       Definisi BODMAS

BODMAS merupakan akronim yang secara luas digunakan dalam sistem pendidikan Inggris dan berbagai negara Persemakmuran (Commonwealth countries) untuk mengajarkan aturan urutan operasi (order of operations) dalam matematika. Akronim ini terdiri atas enam unsur, yaitu Brackets (tanda kurung), Orders (pangkat dan akar), Division (pembagian), Multiplication (perkalian), Addition (penjumlahan), dan Subtraction (pengurangan).¹

Sebagaimana PEMDAS di Amerika Serikat, BODMAS berfungsi sebagai alat bantu pedagogis yang memudahkan siswa mengingat urutan prioritas operasi dalam suatu ekspresi matematika. Tujuan utamanya adalah memastikan bahwa suatu ekspresi matematika ditafsirkan dan dihitung secara seragam sehingga tidak menimbulkan perbedaan hasil akibat variasi prosedur pengerjaan.²

Dalam praktiknya, BODMAS tidak mencerminkan suatu sistem matematika yang berbeda dari PEMDAS. Keduanya merupakan representasi dari prinsip universal yang sama. Perbedaannya hanya terletak pada istilah yang digunakan. Kata Brackets dalam BODMAS setara dengan Parentheses dalam PEMDAS, sedangkan istilah Orders digunakan untuk mencakup berbagai bentuk perpangkatan, akar, dan operasi eksponensial lainnya.³

Sebagai contoh, pada ekspresi:

6 + 4 × 3

aturan BODMAS mengharuskan perkalian diselesaikan terlebih dahulu:

4 × 3 = 12

kemudian:

6 + 12 = 18

Dengan demikian, hasil yang diperoleh adalah 18. Prosedur ini identik dengan hasil yang diperoleh melalui penerapan PEMDAS.⁴

4.2.       Makna dan Ruang Lingkup “Brackets”

Huruf pertama dalam BODMAS merujuk pada Brackets atau tanda kurung. Dalam tradisi matematika Inggris, istilah brackets digunakan secara lebih luas dibandingkan istilah parentheses dalam bahasa Inggris Amerika. Istilah ini mencakup berbagai jenis simbol pengelompokan, seperti:

( )

[ ]

{ }

Semua bentuk tanda kurung tersebut memiliki fungsi yang sama, yaitu mengelompokkan bagian tertentu dari suatu ekspresi sehingga bagian tersebut harus diselesaikan terlebih dahulu.⁵

Sebagai contoh:

(8 + 4) × 2

Langkah pertama:

8 + 4 = 12

Kemudian:

12 × 2 = 24

Tanpa tanda kurung, ekspresi yang sama akan menghasilkan hasil berbeda:

8 + 4 × 2 = 16

Perbedaan ini menunjukkan bahwa tanda kurung memainkan peran penting dalam mengendalikan struktur dan makna suatu ekspresi matematika.⁶

Dalam matematika yang lebih kompleks, penggunaan beberapa tingkat tanda kurung memungkinkan penyusunan ekspresi yang panjang dan rumit tanpa kehilangan kejelasan logis. Oleh karena itu, brackets ditempatkan pada prioritas tertinggi dalam sistem BODMAS.

4.3.       Pengertian “Orders”

Salah satu karakteristik khas BODMAS adalah penggunaan istilah Orders sebagai unsur kedua dalam akronim. Istilah ini lebih luas daripada sekadar exponents sebagaimana digunakan dalam PEMDAS. Dalam literatur matematika Inggris, orders mencakup seluruh operasi yang berkaitan dengan perpangkatan, akar, indeks, dan bentuk eksponensial lainnya.⁷

Sebagai contoh:

3 + 2⁴

Karena operasi perpangkatan termasuk kategori orders, maka:

2⁴ = 16

sehingga:

3 + 16 = 19

Demikian pula dalam ekspresi:

16^1/2 + 5

akar kuadrat harus dihitung terlebih dahulu:

16^1/2 = 4

kemudian:

4 + 5 = 9

Pendekatan ini menunjukkan bahwa istilah orders dirancang untuk mencakup berbagai bentuk operasi eksponensial yang berkembang dalam matematika modern.⁸

4.4.       Division dan Multiplication dalam BODMAS

Setelah menyelesaikan brackets dan orders, langkah berikutnya adalah melakukan operasi pembagian (division) dan perkalian (multiplication). Banyak siswa menganggap bahwa huruf D dalam BODMAS menunjukkan bahwa pembagian harus selalu dilakukan sebelum perkalian. Namun, pemahaman tersebut tidak sesuai dengan prinsip matematika formal.⁹

Dalam kenyataannya, pembagian dan perkalian memiliki tingkat prioritas yang sama. Oleh karena itu, kedua operasi tersebut harus diselesaikan berdasarkan urutan kemunculannya dari kiri ke kanan.

Sebagai contoh:

36 ÷ 6 × 3

Langkah pertama:

36 ÷ 6 = 6

Kemudian:

6 × 3 = 18

Hasil akhirnya adalah:

18

Jika seseorang memaksakan perkalian dilakukan terlebih dahulu, hasil yang diperoleh akan berbeda dan tidak sesuai dengan konvensi matematika modern.¹⁰

Kesalahpahaman ini merupakan salah satu penyebab utama munculnya perdebatan mengenai soal-soal matematika yang beredar di internet dan media sosial.

4.5.       Addition dan Subtraction dalam BODMAS

Tahap terakhir dalam BODMAS adalah menyelesaikan operasi penjumlahan (addition) dan pengurangan (subtraction). Sama seperti perkalian dan pembagian, kedua operasi ini memiliki tingkat prioritas yang setara sehingga pengerjaannya dilakukan dari kiri ke kanan.¹¹

Sebagai contoh:

20 - 8 + 3

Langkah pertama:

20 - 8 = 12

Kemudian:

12 + 3 = 15

Sehingga hasil akhirnya adalah:

15

Prinsip ini sering kali diabaikan oleh siswa yang hanya menghafal akronim tanpa memahami makna matematis di baliknya. Oleh karena itu, pendidikan matematika modern semakin menekankan pemahaman konseptual dibandingkan sekadar hafalan prosedural.

4.6.       Contoh Penerapan BODMAS

Untuk memperjelas penerapan aturan BODMAS, berikut beberapa contoh.

Contoh 1: Operasi Dasar

7 + 3 × 4

Perkalian terlebih dahulu:

3 × 4 = 12

Kemudian:

7 + 12 = 19

Hasilnya:

19

Contoh 2: Melibatkan Brackets

(7 + 3) × 4

Langkah pertama:

7 + 3 = 10

Kemudian:

10 × 4 = 40

Hasilnya:

40

Contoh 3: Melibatkan Orders

2 + 3² × 2

Pangkat terlebih dahulu:

3² = 9

Kemudian:

9 × 2 = 18

Dan terakhir:

2 + 18 = 20

Hasil akhirnya:

20

Contoh 4: Operasi Kompleks

(15 - 3)² ÷ 6 + 1

Langkah pertama:

15 - 3 = 12

Sehingga:

12² ÷ 6 + 1

Kemudian:

12² = 144

Selanjutnya:

144 ÷ 6 = 24

Dan terakhir:

24 + 1 = 25

Hasil akhirnya adalah:

25

Contoh-contoh tersebut menunjukkan bahwa penerapan BODMAS menghasilkan prosedur yang sistematis dan konsisten dalam menyelesaikan ekspresi matematika.

4.7.       Peran BODMAS dalam Pendidikan Negara-Negara Persemakmuran

BODMAS telah menjadi bagian integral dari kurikulum matematika di Inggris serta berbagai negara yang mewarisi tradisi pendidikan Inggris, seperti Australia, Selandia Baru, India, Singapura, Afrika Selatan, dan beberapa negara Persemakmuran lainnya.¹² Melalui akronim ini, siswa diperkenalkan pada prinsip-prinsip dasar notasi matematika yang kelak menjadi fondasi pembelajaran aljabar, kalkulus, dan matematika tingkat lanjut.

Dalam perkembangan pedagogi modern, para pendidik semakin menekankan bahwa BODMAS bukan sekadar urutan huruf yang harus dihafal, melainkan representasi dari struktur logis matematika. Pemahaman yang mendalam terhadap konsep ini membantu siswa mengembangkan kemampuan berpikir analitis, pemecahan masalah, dan interpretasi simbol matematika secara tepat.¹³

Dengan demikian, BODMAS dapat dipahami sebagai salah satu bentuk penyederhanaan pedagogis dari aturan urutan operasi yang bersifat universal. Meskipun terminologinya berbeda dari PEMDAS, prinsip yang dikandungnya identik. Oleh karena itu, baik BODMAS maupun PEMDAS pada dasarnya merupakan dua cara berbeda untuk mengajarkan sistem matematika yang sama kepada generasi pelajar di berbagai belahan dunia.

---

Footnotes

[1]                ¹ Tony Gardiner, Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes (Cambridge: Cambridge University Press, 2003), 12–15.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–70.

[3]                ³ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 5–7.

[4]                ⁴ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–52.

[5]                ⁵ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1 (New York: Dover Publications, 1993), 269–276.

[6]                ⁶ Morris Kline, Mathematics for the Nonmathematician (New York: Dover Publications, 1985), 87–90.

[7]                ⁷ Tony Gardiner, Understanding Infinity, 16–18.

[8]                ⁸ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[9]                ⁹ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[10]             ¹⁰ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[11]             ¹¹ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[12]             ¹² Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 4th ed. (London: Sage Publications, 2013), 102–105.

[13]             ¹³ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

---

5.          Perbandingan PEMDAS dan BODMAS

5.1.       Persamaan Konseptual antara PEMDAS dan BODMAS

Sekilas, PEMDAS dan BODMAS tampak sebagai dua sistem yang berbeda karena menggunakan akronim dan terminologi yang berlainan. Namun, apabila ditelaah secara konseptual, keduanya merepresentasikan prinsip matematika yang sama, yaitu aturan urutan operasi (order of operations) yang digunakan untuk menentukan langkah-langkah penyelesaian suatu ekspresi matematika.¹

Baik PEMDAS maupun BODMAS bertujuan untuk menghilangkan ambiguitas dalam perhitungan dan memastikan bahwa semua orang memperoleh hasil yang sama ketika mengevaluasi suatu ekspresi matematika. Kedua sistem tersebut menempatkan tanda kurung sebagai prioritas tertinggi, diikuti oleh perpangkatan atau operasi sejenis, kemudian perkalian dan pembagian, serta terakhir penjumlahan dan pengurangan.²

Dengan demikian, meskipun seorang siswa di Amerika Serikat mempelajari PEMDAS dan seorang siswa di Inggris mempelajari BODMAS, keduanya sebenarnya sedang mempelajari aturan matematika yang identik. Perbedaan yang ada terutama bersifat linguistik dan pedagogis, bukan matematis.³

Sebagai ilustrasi, ekspresi berikut:

6 + 2 × 4

akan menghasilkan:

6 + (2 × 4)

6 + 8 = 14

baik menurut PEMDAS maupun BODMAS. Tidak ada perbedaan hasil antara kedua sistem tersebut karena keduanya menggunakan prinsip prioritas operasi yang sama.⁴

5.2.       Perbedaan Terminologi

Meskipun secara substansial identik, PEMDAS dan BODMAS menggunakan istilah yang berbeda untuk menjelaskan komponen-komponen urutan operasi. Perbedaan ini mencerminkan variasi tradisi pendidikan antara Amerika Serikat dan negara-negara yang mengikuti sistem pendidikan Inggris.⁵

Perbandingan terminologi tersebut dapat dilihat pada tabel berikut.

·                     PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction).

·                     BODMAS (Brackets, Orders, Multiplication, Division, Addition, Subtraction).

·                     KU-PAKAR-KABA-TAKU (Kurung, Pangkat/Akar, Kali/Bagi, Tambah/Kurang).

Istilah Parentheses dalam bahasa Inggris Amerika biasanya merujuk secara khusus pada tanda kurung lengkung ( ), sedangkan istilah Brackets dalam tradisi Inggris digunakan secara lebih luas untuk mencakup berbagai bentuk tanda pengelompokan seperti ( ), [ ], dan { }.⁶

Perbedaan lain terletak pada penggunaan istilah Exponents dan Orders. Dalam PEMDAS, kata Exponents secara langsung mengacu pada operasi perpangkatan. Sebaliknya, BODMAS menggunakan istilah Orders, yang memiliki cakupan lebih luas karena mencakup perpangkatan, akar, indeks, dan berbagai bentuk operasi eksponensial lainnya.⁷

Meskipun terdapat perbedaan terminologi tersebut, prosedur perhitungan yang dihasilkan tetap sama.

5.3.       Variasi Akronim Lain di Dunia

Selain PEMDAS dan BODMAS, terdapat beberapa akronim lain yang digunakan di berbagai negara untuk mengajarkan urutan operasi. Perbedaan ini menunjukkan bahwa yang berubah hanyalah metode pedagogis, sedangkan aturan matematikanya tetap sama.⁸

Beberapa variasi yang umum digunakan antara lain:

5.3.1.    BEDMAS

BEDMAS merupakan singkatan dari:

·                     Brackets

·                     Exponents

·                     Division

·                     Multiplication

·                     Addition

·                     Subtraction

Akronim ini banyak digunakan di Kanada.

5.3.2.    BIDMAS

BIDMAS merupakan singkatan dari:

·                     Brackets

·                     Indices

·                     Division

·                     Multiplication

·                     Addition

·                     Subtraction

Istilah Indices di sini memiliki makna yang serupa dengan Exponents atau Orders, yaitu operasi perpangkatan dan bentuk terkait lainnya. BIDMAS banyak ditemukan dalam kurikulum matematika Inggris modern.⁹

5.3.3.    GEMDAS

Di beberapa lingkungan pendidikan, digunakan pula akronim GEMDAS:

·                     Grouping Symbols

·                     Exponents

·                     Multiplication

·                     Division

·                     Addition

·                     Subtraction

Akronim ini menekankan bahwa berbagai bentuk tanda pengelompokan memiliki fungsi yang sama dalam menentukan prioritas operasi.¹⁰

Keberadaan berbagai akronim tersebut menunjukkan bahwa tidak ada satu cara tunggal untuk mengajarkan urutan operasi. Yang terpenting bukanlah akronim yang digunakan, melainkan pemahaman terhadap prinsip-prinsip matematis yang mendasarinya.

5.4.       Apakah PEMDAS dan BODMAS Menghasilkan Hasil yang Berbeda?

Salah satu pertanyaan yang sering muncul adalah apakah penggunaan PEMDAS atau BODMAS dapat menghasilkan jawaban yang berbeda untuk suatu ekspresi matematika. Secara matematis, jawabannya adalah tidak. Apabila kedua sistem diterapkan dengan benar, hasil yang diperoleh akan selalu sama.¹¹

Sebagai contoh, pertimbangkan ekspresi berikut:

18 ÷ 3 × 2 + 4

5.4.1.    Menurut PEMDAS

Pembagian dan perkalian memiliki prioritas yang sama:

18 ÷ 3 = 6

6 × 2 = 12

Kemudian:

12 + 4 = 16

5.4.2.    Menurut BODMAS

Pembagian dan perkalian juga memiliki prioritas yang sama:

18 ÷ 3 = 6

6 × 2 = 12

Kemudian:

12 + 4 = 16

Hasil akhirnya tetap:

16

Kesamaan hasil tersebut menunjukkan bahwa perbedaan antara PEMDAS dan BODMAS tidak terletak pada aturan matematikanya, melainkan hanya pada istilah yang digunakan untuk menjelaskan aturan tersebut.¹²

5.5.       Sumber Kesalahpahaman dalam Membandingkan PEMDAS dan BODMAS

Banyak kesalahpahaman muncul karena orang menganggap bahwa urutan huruf dalam akronim mencerminkan urutan mutlak dalam setiap keadaan. Sebagai contoh, sebagian orang mengira bahwa huruf M dalam PEMDAS berarti perkalian selalu harus dilakukan sebelum pembagian, atau bahwa huruf D dalam BODMAS berarti pembagian harus selalu didahulukan daripada perkalian.¹³

Pemahaman tersebut tidak sesuai dengan matematika modern. Dalam kedua sistem, perkalian dan pembagian berada pada tingkat prioritas yang sama. Oleh karena itu, pengerjaannya harus dilakukan berdasarkan urutan kemunculan dari kiri ke kanan. Prinsip yang sama berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan.¹⁴

Sebagai ilustrasi:

24 ÷ 6 × 2

Langkah yang benar adalah:

24 ÷ 6 = 4

4 × 2 = 8

Bukan:

24 ÷ (6 × 2) = 2

Kesalahan seperti ini sering muncul dalam soal-soal matematika viral di media sosial dan menjadi sumber perdebatan yang sebenarnya berasal dari pemahaman yang kurang tepat terhadap konsep urutan operasi.¹⁵

5.6.       PEMDAS dan BODMAS sebagai Standar Internasional

Walaupun sistem pendidikan di berbagai negara menggunakan akronim yang berbeda, komunitas matematika internasional pada dasarnya menerapkan aturan urutan operasi yang sama. Buku teks matematika, jurnal ilmiah, perangkat lunak komputasi, kalkulator, dan bahasa pemrograman modern mengadopsi prinsip prioritas operasi yang konsisten sehingga hasil perhitungan dapat direproduksi secara universal.¹⁶

Keseragaman tersebut sangat penting dalam era globalisasi ilmu pengetahuan. Penelitian ilmiah yang dilakukan di Amerika Serikat harus dapat dipahami dan diverifikasi oleh ilmuwan di Inggris, Australia, India, Jepang, maupun negara lainnya. Hal ini hanya mungkin terjadi apabila terdapat kesepakatan mengenai cara menafsirkan simbol dan operasi matematika.¹⁷

Oleh karena itu, PEMDAS dan BODMAS sebaiknya dipahami bukan sebagai dua sistem yang saling bersaing, melainkan sebagai dua representasi pedagogis dari satu prinsip matematika universal. Perbedaan terminologi yang digunakan tidak mengubah hakikat aturan urutan operasi yang menjadi fondasi bagi komunikasi matematis di seluruh dunia.

---

Footnotes

[1]                ¹ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 5–7.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[3]                ³ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–53.

[4]                ⁴ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–55.

[5]                ⁵ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 4th ed. (London: Sage Publications, 2013), 102–105.

[6]                ⁶ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1 (New York: Dover Publications, 1993), 269–276.

[7]                ⁷ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[8]                ⁸ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

[9]                ⁹ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 104–106.

[10]             ¹⁰ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics, 54–56.

[11]             ¹¹ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[12]             ¹² Paul Lockhart, Arithmetic, 70–73.

[13]             ¹³ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[14]             ¹⁴ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[15]             ¹⁵ Morris Kline, Mathematics for the Nonmathematician (New York: Dover Publications, 1985), 89–92.

[16]             ¹⁶ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics, 5–9.

[17]             ¹⁷ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 32–36.

---

6.          Sejarah Perkembangan Urutan Operasi

6.1.       Matematika pada Peradaban Kuno

Konsep urutan operasi sebagaimana dikenal saat ini tidak muncul secara tiba-tiba, melainkan merupakan hasil perkembangan panjang dalam sejarah matematika. Pada peradaban-peradaban kuno seperti Mesir, Babilonia, Yunani, India, dan Tiongkok, perhitungan matematika telah dilakukan jauh sebelum munculnya simbol-simbol aljabar modern. Namun, pada masa tersebut ekspresi matematika umumnya ditulis dalam bentuk verbal atau prosedural sehingga persoalan mengenai prioritas operasi belum menjadi perhatian utama.¹

Bangsa Mesir Kuno, misalnya, menuliskan prosedur perhitungan secara bertahap dalam dokumen-dokumen seperti Rhind Mathematical Papyrus (sekitar 1650 SM). Setiap operasi dijelaskan secara eksplisit sehingga hampir tidak ada kemungkinan munculnya ambiguitas akibat urutan pengerjaan.² Demikian pula bangsa Babilonia menggunakan sistem numerik seksagesimal dan menyusun langkah-langkah perhitungan secara berurutan sesuai kebutuhan praktis dalam astronomi, perdagangan, dan administrasi negara.³

Di Yunani Kuno, matematika lebih banyak berkembang dalam bentuk geometri deduktif daripada aljabar simbolik. Karya-karya matematikawan seperti Euclid dan Archimedes berfokus pada pembuktian geometris yang disajikan dalam bahasa alami. Karena simbol operasi belum digunakan secara luas, kebutuhan akan aturan formal mengenai prioritas operasi juga belum muncul secara signifikan.⁴

Keadaan yang serupa ditemukan dalam tradisi matematika India dan Tiongkok. Walaupun kedua peradaban tersebut menghasilkan pencapaian penting dalam aritmetika dan aljabar, notasi yang digunakan masih bersifat retoris atau semi-simbolik sehingga langkah-langkah penyelesaian biasanya dijelaskan secara eksplisit.⁵

6.2.       Munculnya Aljabar Simbolik

Perkembangan penting menuju lahirnya aturan urutan operasi terjadi ketika matematika mulai beralih dari bentuk retoris menuju bentuk simbolik. Perubahan ini berlangsung secara bertahap sejak akhir Abad Pertengahan hingga masa Renaisans Eropa.⁶

Pada masa sebelumnya, ekspresi matematika dituliskan dalam bentuk kalimat lengkap. Sebagai contoh, apa yang sekarang ditulis sebagai:

3x + 5

akan dijelaskan melalui uraian verbal yang panjang. Bentuk penulisan seperti ini relatif tidak menimbulkan ambiguitas karena urutan langkah dijelaskan secara eksplisit. Namun, ketika simbol-simbol matematika mulai diperkenalkan untuk meningkatkan efisiensi penulisan, muncul kebutuhan akan aturan yang mengatur hubungan antar simbol tersebut.⁷

Perkembangan aljabar simbolik dipercepat oleh karya matematikawan Eropa seperti François Viète pada abad ke-16 dan René Descartes pada abad ke-17. Mereka memperkenalkan penggunaan huruf sebagai simbol variabel dan mengembangkan notasi yang lebih sistematis. Seiring meningkatnya kompleksitas ekspresi matematika, kebutuhan akan konvensi yang seragam menjadi semakin mendesak.⁸

Pada periode ini, notasi perpangkatan mulai digunakan secara luas dan simbol-simbol operasi memperoleh bentuk yang semakin mendekati standar modern. Walaupun belum terdapat aturan urutan operasi yang sepenuhnya baku, berbagai praktik yang kemudian menjadi dasar PEMDAS dan BODMAS mulai berkembang di kalangan matematikawan.⁹

6.3.       Perkembangan Tanda Kurung dan Notasi Matematika

Salah satu tonggak penting dalam sejarah urutan operasi adalah berkembangnya penggunaan tanda kurung (parentheses atau brackets). Sebelum tanda kurung digunakan secara luas, para matematikawan sering mengalami kesulitan dalam menuliskan ekspresi yang kompleks tanpa menimbulkan ambiguitas.¹⁰

Menurut kajian sejarah notasi matematika, penggunaan tanda kurung mulai memperoleh bentuk yang lebih sistematis pada abad ke-16. Matematikawan Italia Rafael Bombelli merupakan salah satu tokoh yang berperan dalam mempopulerkan penggunaan simbol pengelompokan dalam karya-karya aljabarnya.¹¹

Keberadaan tanda kurung memungkinkan bagian tertentu dari suatu ekspresi dikelompokkan dan diperlakukan sebagai satu kesatuan. Misalnya:

(3 + 5) × 2

dapat dibedakan secara jelas dari:

3 + 5 × 2

Tanpa tanda kurung, interpretasi terhadap ekspresi yang kompleks akan jauh lebih sulit dilakukan. Oleh karena itu, berkembangnya simbol pengelompokan merupakan prasyarat penting bagi lahirnya aturan urutan operasi modern.¹²

Selain tanda kurung, simbol-simbol lain seperti tanda tambah (+), tanda kurang (−), tanda kali (×), tanda bagi (÷), serta notasi perpangkatan juga mengalami proses standardisasi secara bertahap. Bersama-sama, simbol-simbol tersebut membentuk bahasa matematika modern yang membutuhkan seperangkat aturan sintaksis untuk menjaga konsistensinya.¹³

6.4.       Kontribusi Matematikawan Muslim terhadap Standardisasi Aljabar

Perkembangan menuju sistem matematika modern tidak dapat dilepaskan dari kontribusi para ilmuwan Muslim pada masa Keemasan Islam antara abad ke-8 hingga abad ke-14. Pada periode ini, dunia Islam menjadi pusat perkembangan ilmu pengetahuan yang menghubungkan warisan Yunani, Persia, India, dan berbagai tradisi intelektual lainnya.¹⁴

Tokoh yang paling berpengaruh dalam perkembangan aljabar adalah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Karyanya yang terkenal, Al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wa al-Muqābalah, meletakkan dasar-dasar aljabar sebagai disiplin ilmu yang terpisah dari aritmetika dan geometri.¹⁵

Meskipun al-Khawarizmi belum menggunakan notasi simbolik modern, metode sistematis yang dikembangkannya berkontribusi terhadap pembentukan struktur logis dalam penyelesaian persoalan matematika. Pendekatan tersebut kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan memengaruhi perkembangan matematika Eropa selama berabad-abad.¹⁶

Selain al-Khawarizmi, ilmuwan Muslim seperti Omar Khayyam dan Sharaf al-Din al-Tusi juga memberikan kontribusi penting dalam pengembangan metode aljabar yang semakin sistematis. Walaupun konsep urutan operasi modern belum dirumuskan secara eksplisit, tradisi matematika Islam membantu membangun fondasi intelektual yang memungkinkan perkembangan notasi dan prosedur formal pada masa berikutnya.¹⁷

6.5.       Kodifikasi Modern Urutan Operasi

Aturan urutan operasi dalam bentuk yang mendekati standar modern mulai terkodifikasi secara jelas pada abad ke-18 dan ke-19. Pada periode ini, notasi matematika telah berkembang pesat dan digunakan secara luas dalam pendidikan, penelitian ilmiah, serta berbagai aplikasi praktis.¹⁸

Meningkatnya penggunaan ekspresi simbolik yang kompleks mendorong para matematikawan dan penulis buku teks untuk menetapkan konvensi yang seragam mengenai prioritas operasi. Secara bertahap, praktik umum yang menempatkan tanda kurung pada prioritas tertinggi, diikuti perpangkatan, perkalian dan pembagian, serta penjumlahan dan pengurangan, menjadi standar yang diterima secara luas.¹⁹

Pada abad ke-20, perkembangan sistem pendidikan massal menyebabkan kebutuhan akan metode pengajaran yang lebih sederhana dan mudah diingat. Dalam konteks inilah muncul berbagai akronim seperti PEMDAS, BODMAS, BEDMAS, dan BIDMAS. Akronim-akronim tersebut tidak menciptakan aturan baru, melainkan menyederhanakan aturan yang telah lama digunakan dalam matematika formal.²⁰

Seiring berkembangnya teknologi digital, aturan urutan operasi semakin memperoleh legitimasi melalui implementasinya dalam kalkulator elektronik, perangkat lunak matematika, dan bahasa pemrograman komputer. Sistem-sistem tersebut memerlukan aturan yang eksplisit agar ekspresi matematika dapat diproses secara otomatis tanpa menimbulkan ambiguitas.²¹

6.6.       Dari Konvensi Historis Menuju Standar Global

Perjalanan sejarah urutan operasi menunjukkan bahwa aturan tersebut merupakan hasil evolusi panjang yang dipengaruhi oleh perkembangan notasi matematika, kebutuhan komunikasi ilmiah, serta kemajuan teknologi. Apa yang saat ini dikenal sebagai PEMDAS atau BODMAS bukanlah hukum alam yang ditemukan secara langsung, melainkan konvensi intelektual yang dikembangkan untuk mengatasi ambiguitas dalam penulisan matematika.²²

Namun demikian, setelah diterima secara luas oleh komunitas ilmiah internasional, konvensi tersebut memperoleh status sebagai standar global. Saat ini, buku teks matematika, jurnal akademik, perangkat lunak komputasi, bahasa pemrograman, dan sistem pendidikan di berbagai negara menggunakan prinsip yang pada dasarnya sama dalam menentukan urutan operasi.²³

Dengan demikian, sejarah urutan operasi memperlihatkan bagaimana kebutuhan praktis akan kejelasan dan konsistensi dapat melahirkan suatu konvensi yang kemudian menjadi fondasi penting bagi perkembangan matematika modern. Dari perhitungan retoris di Mesir dan Babilonia hingga algoritma komputer abad ke-21, aturan urutan operasi telah berkembang menjadi salah satu unsur mendasar yang memungkinkan matematika berfungsi sebagai bahasa universal umat manusia.

---

Footnotes

[1]                ¹ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2011), 1–12.

[2]                ² Annette Imhausen, Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2016), 45–58.

[3]                ³ Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008), 73–91.

[4]                ⁴ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 104–132.

[5]                ⁵ George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 3rd ed. (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2011), 221–267.

[6]                ⁶ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1 (New York: Dover Publications, 1993), 135–168.

[7]                ⁷ Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1 (New York: Oxford University Press, 1972), 257–263.

[8]                ⁸ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 337–353.

[9]                ⁹ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, 169–195.

[10]             ¹⁰ Ibid., 269–276.

[11]             ¹¹ Ibid., 274–278.

[12]             ¹² Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 404–409.

[13]             ¹³ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1, 195–238.

[14]             ¹⁴ George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, 329–371.

[15]             ¹⁵ Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, 3rd ed. (Boston: Addison-Wesley, 2008), 245–250.

[16]             ¹⁶ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 227–233.

[17]             ¹⁷ Victor J. Katz, A History of Mathematics, 255–269.

[18]             ¹⁸ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 2 (New York: Dover Publications, 1993), 1–42.

[19]             ¹⁹ Morris Kline, Mathematics for the Nonmathematician (New York: Dover Publications, 1985), 87–92.

[20]             ²⁰ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

[21]             ²¹ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–9.

[22]             ²² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[23]             ²³ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

---

7.          Dasar Logis dan Filosofis Urutan Operasi

7.1.       Matematika sebagai Sistem Formal

Untuk memahami mengapa aturan urutan operasi seperti PEMDAS dan BODMAS digunakan secara universal, perlu dipahami terlebih dahulu hakikat matematika sebagai suatu sistem formal. Dalam perspektif modern, matematika tidak hanya terdiri atas angka dan perhitungan, tetapi juga merupakan jaringan simbol, definisi, aksioma, dan aturan inferensi yang saling berkaitan secara logis.¹

Suatu sistem formal bekerja berdasarkan seperangkat aturan yang menentukan bagaimana simbol-simbol dapat digunakan dan dimanipulasi. Sebagaimana tata bahasa mengatur penggunaan kata dalam bahasa, matematika memerlukan aturan sintaksis yang mengatur hubungan antar simbol matematis. Tanpa aturan tersebut, suatu ekspresi matematika dapat ditafsirkan secara berbeda oleh orang yang berbeda, sehingga menghilangkan kepastian yang menjadi salah satu ciri utama matematika.²

Dalam konteks ini, urutan operasi dapat dipahami sebagai bagian dari sintaks matematika. Aturan tersebut menentukan bagaimana suatu ekspresi harus dibaca dan dievaluasi. Misalnya, ekspresi:

2 + 3 × 4

secara sintaksis dipahami sebagai:

2 + (3 × 4)

bukan:

(2 + 3) × 4

Urutan operasi dengan demikian berfungsi sebagai mekanisme formal yang menjamin bahwa setiap ekspresi memiliki interpretasi yang unik dan konsisten.³

Dari sudut pandang logika, keberadaan aturan semacam ini sangat penting karena suatu sistem formal yang baik harus bebas dari ambiguitas (unambiguous). Jika satu ekspresi dapat menghasilkan banyak interpretasi yang berbeda, maka kemampuan matematika untuk berfungsi sebagai bahasa ilmiah akan terganggu.⁴

7.2.       Prioritas Operasi sebagai Aturan Sintaksis

Secara logis, urutan operasi tidak muncul karena sifat intrinsik angka itu sendiri, melainkan karena kebutuhan untuk mengatur struktur ekspresi matematis. Dalam bahasa pemrograman modern, konsep ini dikenal sebagai operator precedence atau prioritas operator. Setiap operator diberi tingkat prioritas tertentu sehingga komputer dapat menentukan urutan evaluasi tanpa memerlukan instruksi tambahan.⁵

Sebagai contoh, ekspresi:

4 + 5 × 2

memiliki struktur sintaksis yang berbeda dari:

(4 + 5) × 2

Walaupun kedua ekspresi menggunakan simbol yang sama, hubungan logis antaroperasinya berbeda karena adanya aturan prioritas. Dengan demikian, urutan operasi berfungsi seperti aturan tata bahasa dalam suatu bahasa formal.⁶

Dari perspektif teori bahasa formal, ekspresi matematika dapat dipandang sebagai pohon sintaksis (syntax tree). Dalam struktur tersebut, operasi perkalian biasanya berada pada tingkat yang lebih dalam dibandingkan penjumlahan, sehingga harus dievaluasi terlebih dahulu. Pendekatan ini banyak digunakan dalam ilmu komputer dan teori kompilator untuk memproses ekspresi matematis secara otomatis.⁷

Oleh karena itu, urutan operasi tidak sekadar merupakan aturan praktis yang diajarkan di sekolah, melainkan bagian dari struktur logis yang memungkinkan simbol matematika memiliki makna yang jelas dan konsisten.

7.3.       Konvensi atau Kebenaran Matematis?

Salah satu pertanyaan filosofis yang menarik adalah apakah urutan operasi merupakan kebenaran matematika yang bersifat mutlak atau sekadar konvensi yang disepakati oleh komunitas matematikawan. Pertanyaan ini berkaitan dengan perbedaan antara isi matematika dan bahasa matematika.⁸

Sebagian filsuf matematika berpendapat bahwa aturan urutan operasi pada dasarnya merupakan konvensi. Tidak ada hukum alam yang secara intrinsik mengharuskan perkalian dilakukan sebelum penjumlahan. Secara teoritis, manusia dapat saja menyepakati aturan yang berbeda. Misalnya, suatu komunitas dapat memutuskan bahwa semua operasi harus dihitung dari kiri ke kanan tanpa memperhatikan jenis operasinya.⁹

Namun, apabila konvensi yang berbeda digunakan, seluruh notasi matematika harus disesuaikan kembali. Sistem matematika modern telah berkembang selama berabad-abad berdasarkan konvensi yang sekarang berlaku. Oleh karena itu, meskipun aturan urutan operasi bersifat konvensional dalam asal-usulnya, ia memperoleh status yang sangat kuat karena menjadi bagian integral dari keseluruhan struktur matematika modern.¹⁰

Dalam arti ini, urutan operasi dapat dipahami sebagai konvensi yang telah diterima secara universal karena terbukti efisien, logis, dan mampu mendukung komunikasi matematis yang konsisten. Sama seperti aturan tata bahasa dalam bahasa alami, konvensi tersebut bukanlah kebenaran alamiah, tetapi menjadi mengikat karena digunakan secara luas oleh komunitas penuturnya.¹¹

7.4.       Perspektif Formalisme

Dalam filsafat matematika, formalisme merupakan salah satu aliran yang memberikan landasan penting bagi pemahaman mengenai urutan operasi. Formalisme, yang banyak dikaitkan dengan David Hilbert, memandang matematika sebagai sistem simbol yang dimanipulasi berdasarkan aturan tertentu tanpa harus bergantung pada makna intuitif dari simbol-simbol tersebut.¹²

Menurut pendekatan ini, yang terpenting bukanlah apakah simbol-simbol matematika merepresentasikan objek nyata, melainkan apakah simbol-simbol tersebut digunakan sesuai dengan aturan yang telah ditetapkan. Dari sudut pandang formalisme, urutan operasi merupakan bagian dari aturan permainan matematika yang menentukan bagaimana ekspresi harus diproses.¹³

Sebagai analogi, permainan catur memiliki aturan mengenai cara setiap bidak bergerak. Aturan tersebut tidak ditentukan oleh hukum alam, tetapi oleh kesepakatan yang membentuk permainan itu sendiri. Demikian pula, urutan operasi merupakan bagian dari aturan yang memungkinkan matematika berfungsi sebagai sistem formal yang koheren.¹⁴

Melalui perspektif formalisme, PEMDAS dan BODMAS dapat dipahami sebagai representasi pedagogis dari aturan formal yang lebih mendasar dalam bahasa matematika.

7.5.       Perspektif Logisisme

Berbeda dengan formalisme, logisisme memandang matematika sebagai cabang logika. Tokoh-tokoh seperti Gottlob Frege dan Bertrand Russell berusaha menunjukkan bahwa seluruh matematika dapat diturunkan dari prinsip-prinsip logis yang fundamental.¹⁵

Dalam perspektif logisisme, urutan operasi dapat dipahami sebagai konsekuensi dari struktur logis yang mendasari ekspresi matematika. Sebuah ekspresi bukan sekadar rangkaian simbol, melainkan representasi hubungan logis antarobjek matematika. Oleh karena itu, aturan prioritas operasi membantu mengungkap struktur logis tersebut secara konsisten.¹⁶

Sebagai contoh:

2 + 3 × 4

secara logis merepresentasikan penjumlahan antara bilangan 2 dan hasil perkalian 3 dengan 4. Struktur hubungan tersebut harus dipertahankan agar makna matematis ekspresi tidak berubah.¹⁷

Dengan demikian, logisisme menekankan bahwa urutan operasi bukan hanya persoalan notasi, tetapi juga berkaitan dengan representasi hubungan logis yang terkandung dalam ekspresi matematika.

7.6.       Perspektif Strukturalisme

Strukturalisme matematika menawarkan pendekatan lain dalam memahami urutan operasi. Menurut pandangan ini, objek-objek matematika tidak dipahami secara terpisah, melainkan sebagai bagian dari struktur yang lebih besar. Yang penting bukanlah angka secara individual, tetapi hubungan yang menghubungkan angka-angka tersebut dalam suatu sistem.¹⁸

Dari perspektif strukturalisme, urutan operasi membantu mempertahankan struktur relasional suatu ekspresi matematika. Perubahan urutan operasi dapat mengubah struktur tersebut dan menghasilkan makna matematis yang berbeda. Oleh karena itu, aturan prioritas operasi berfungsi untuk menjaga integritas struktur yang direpresentasikan oleh ekspresi simbolik.¹⁹

Pandangan ini sejalan dengan praktik matematika modern yang semakin menekankan pola, relasi, dan struktur daripada sekadar perhitungan numerik. Dalam konteks tersebut, urutan operasi berperan sebagai alat yang memungkinkan struktur matematika direpresentasikan secara tepat melalui simbol.²⁰

7.7.       Dimensi Epistemologis Urutan Operasi

Dari sudut pandang epistemologi, urutan operasi berfungsi sebagai sarana untuk memperoleh pengetahuan matematis yang dapat diverifikasi secara objektif. Salah satu ciri utama pengetahuan ilmiah adalah reproduktibilitas, yaitu kemampuan memperoleh hasil yang sama ketika prosedur yang sama diterapkan.²¹

Apabila setiap individu bebas menentukan urutan operasinya sendiri, maka hasil perhitungan tidak lagi dapat direproduksi secara konsisten. Dalam keadaan demikian, matematika akan kehilangan sebagian besar nilai epistemiknya sebagai alat untuk menghasilkan pengetahuan yang dapat dipercaya.²²

Karena itu, urutan operasi berperan sebagai mekanisme yang memungkinkan komunitas ilmiah membangun konsensus mengenai hasil-hasil matematis. Aturan tersebut menjembatani proses berpikir individual dengan pengetahuan kolektif yang dapat diuji dan diverifikasi oleh siapa pun.²³

7.8.       Refleksi Filosofis

Pembahasan mengenai urutan operasi menunjukkan bahwa aturan ini memiliki dimensi yang lebih dalam daripada sekadar teknik menghitung. Di satu sisi, urutan operasi merupakan konvensi historis yang berkembang untuk mengatasi ambiguitas dalam notasi matematika. Di sisi lain, aturan tersebut menjadi bagian penting dari struktur logis yang memungkinkan matematika berfungsi sebagai bahasa formal yang universal.²⁴

Dari perspektif filosofis, PEMDAS dan BODMAS tidak hanya mencerminkan prosedur teknis, tetapi juga menunjukkan bagaimana manusia membangun sistem simbolik yang mampu menghasilkan pengetahuan yang konsisten dan dapat dibagikan secara universal. Keberhasilan matematika sebagai bahasa sains modern sebagian besar bergantung pada adanya aturan-aturan formal seperti urutan operasi yang menjaga koherensi antara simbol, struktur, dan makna.²⁵

Dengan demikian, dasar logis dan filosofis urutan operasi memperlihatkan bahwa aturan tersebut merupakan titik temu antara konvensi, logika, bahasa formal, dan epistemologi. Meskipun sering diajarkan sebagai materi dasar dalam pendidikan matematika, urutan operasi sesungguhnya merepresentasikan salah satu fondasi konseptual yang memungkinkan seluruh bangunan matematika modern berdiri secara kokoh.

---

Footnotes

[1]                ¹ Ernest Nagel and James R. Newman, Gödel's Proof, rev. ed. (New York: New York University Press, 2001), 15–18.

[2]                ² Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 63–67.

[3]                ³ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[4]                ⁴ Patrick Suppes, Introduction to Logic (Mineola, NY: Dover Publications, 1999), 1–9.

[5]                ⁵ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[6]                ⁶ Raymond M. Smullyan, First-Order Logic (New York: Dover Publications, 1995), 1–5.

[7]                ⁷ Alfred V. Aho, Monica S. Lam, Ravi Sethi, and Jeffrey D. Ullman, Compilers: Principles, Techniques, and Tools, 2nd ed. (Boston: Pearson, 2007), 177–185.

[8]                ⁸ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics, 12–15.

[9]                ⁹ Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press, 1980), 27–31.

[10]             ¹⁰ Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[11]             ¹¹ Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, rev. ed. (Cambridge, MA: MIT Press, 1978), 195–198.

[12]             ¹² David Hilbert, Foundations of Geometry, trans. E. J. Townsend (La Salle, IL: Open Court, 1950), 1–8.

[13]             ¹³ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics, 98–102.

[14]             ¹⁴ Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty, 53–58.

[15]             ¹⁵ Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (London: George Allen & Unwin, 1919), 1–10.

[16]             ¹⁶ Michael Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1991), 84–92.

[17]             ¹⁷ Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic, trans. J. L. Austin (Evanston, IL: Northwestern University Press, 1980), 1–7.

[18]             ¹⁸ Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (Oxford: Oxford University Press, 1997), 73–81.

[19]             ¹⁹ Ibid., 95–101.

[20]             ²⁰ Michael Resnik, Mathematics as a Science of Patterns (Oxford: Oxford University Press, 1997), 201–208.

[21]             ²¹ Karl R. Popper, The Logic of Scientific Discovery (London: Routledge, 2002), 18–24.

[22]             ²² Patrick Suppes, Introduction to Logic, 8–11.

[23]             ²³ Imre Lakatos, Proofs and Refutations (Cambridge: Cambridge University Press, 1976), 1–9.

[24]             ²⁴ Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, 195–202.

[25]             ²⁵ Ernest Nagel and James R. Newman, Gödel's Proof, 19–24.

---

8.          PEMDAS/BODMAS dalam Pendidikan Matematika

8.1.       Peran Urutan Operasi dalam Pembelajaran Matematika

Dalam pendidikan matematika modern, PEMDAS dan BODMAS merupakan perangkat pedagogis yang digunakan untuk memperkenalkan konsep urutan operasi kepada peserta didik. Kedua akronim tersebut membantu siswa memahami bahwa suatu ekspresi matematika tidak dapat dihitung secara sembarangan, melainkan harus mengikuti aturan tertentu agar menghasilkan jawaban yang konsisten.¹

Pembelajaran urutan operasi biasanya diperkenalkan setelah siswa menguasai operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada tahap ini, peserta didik mulai diperkenalkan pada ekspresi yang melibatkan lebih dari satu operasi sekaligus. Tujuannya bukan hanya agar siswa mampu memperoleh jawaban yang benar, tetapi juga memahami struktur hubungan antaroperasi dalam suatu ekspresi matematika.²

Dalam konteks pendidikan, PEMDAS dan BODMAS berfungsi sebagai jembatan antara aritmetika dasar dan aljabar. Ketika siswa mulai mempelajari variabel, persamaan, dan fungsi, pemahaman terhadap urutan operasi menjadi syarat penting untuk menginterpretasikan simbol-simbol matematika secara tepat.³

Oleh karena itu, pembelajaran urutan operasi memiliki posisi strategis dalam kurikulum matematika karena menjadi fondasi bagi berbagai konsep yang lebih kompleks pada jenjang pendidikan berikutnya.

8.2.       Pengajaran PEMDAS/BODMAS pada Pendidikan Dasar

Pada tingkat sekolah dasar, tujuan utama pembelajaran urutan operasi adalah membangun pemahaman awal mengenai prioritas operasi matematika. Pada tahap ini, siswa biasanya diperkenalkan pada bentuk-bentuk sederhana seperti:

4 + 3 × 2

atau

(5 + 2) × 3

Melalui contoh-contoh tersebut, siswa belajar bahwa tanda kurung dan perkalian memengaruhi cara suatu ekspresi dihitung.⁴

Pendekatan yang umum digunakan adalah penggunaan akronim seperti PEMDAS atau BODMAS sebagai alat bantu mengingat (mnemonic device). Akronim ini mempermudah siswa dalam mengingat urutan umum operasi tanpa harus menghafal aturan yang panjang dan abstrak.⁵

Namun demikian, para ahli pendidikan matematika menekankan bahwa penggunaan akronim sebaiknya disertai dengan pemahaman konseptual. Jika siswa hanya menghafal urutan huruf tanpa memahami alasan di baliknya, mereka cenderung melakukan kesalahan ketika menghadapi soal yang lebih kompleks.⁶

Karena itu, banyak kurikulum modern menggabungkan penggunaan akronim dengan aktivitas eksploratif, diskusi kelas, dan representasi visual agar siswa dapat memahami hubungan antaroperasi secara lebih mendalam.

8.3.       Pengajaran pada Pendidikan Menengah

Pada tingkat sekolah menengah, pembelajaran urutan operasi berkembang dari sekadar prosedur aritmetika menuju pemahaman aljabar yang lebih abstrak. Siswa tidak lagi hanya berhadapan dengan bilangan, tetapi juga dengan variabel, persamaan, dan fungsi.⁷

Sebagai contoh, siswa mulai mempelajari ekspresi seperti:

3x + 2(4 - x)²

Untuk menyelesaikan atau menyederhanakan ekspresi semacam ini, mereka harus memahami bagaimana urutan operasi bekerja dalam konteks simbolik, bukan sekadar numerik.⁸

Pada tahap ini, guru biasanya menekankan bahwa PEMDAS atau BODMAS bukanlah sekadar aturan mekanis, melainkan representasi dari struktur matematis suatu ekspresi. Dengan memahami struktur tersebut, siswa dapat mengembangkan kemampuan penalaran aljabar yang lebih baik.⁹

Penelitian pendidikan menunjukkan bahwa keberhasilan dalam memahami aljabar sangat dipengaruhi oleh kemampuan siswa dalam menginterpretasikan dan menerapkan urutan operasi secara benar. Kesalahan pada tahap ini sering kali menjadi hambatan dalam mempelajari matematika tingkat lanjut seperti kalkulus dan analisis matematika.¹⁰

8.4.       Kesalahan yang Sering Dilakukan Siswa

Meskipun PEMDAS dan BODMAS diajarkan secara luas, berbagai penelitian menunjukkan bahwa banyak siswa masih mengalami kesulitan dalam menerapkannya secara tepat.¹¹

Salah satu kesalahan yang paling umum adalah menganggap bahwa huruf-huruf dalam akronim menunjukkan prioritas absolut. Sebagai contoh, sebagian siswa percaya bahwa perkalian selalu harus dilakukan sebelum pembagian karena huruf M muncul sebelum D dalam PEMDAS.¹²

Kesalahan serupa juga terjadi pada penjumlahan dan pengurangan. Banyak siswa tidak memahami bahwa kedua operasi tersebut memiliki tingkat prioritas yang sama dan harus diselesaikan berdasarkan urutan dari kiri ke kanan.¹³

Sebagai contoh:

18 ÷ 3 × 2

Sebagian siswa menjawab:

18 ÷ (3 × 2) = 3

padahal jawaban yang benar adalah:

18 ÷ 3 = 6

6 × 2 = 12

Kesalahan lain yang sering muncul adalah mengabaikan tanda kurung atau tidak memahami fungsi pengelompokan yang dimilikinya. Akibatnya, siswa sering memperoleh hasil yang berbeda dari yang dimaksudkan oleh struktur ekspresi matematika.¹⁴

8.5.       Pendekatan Pedagogis Tradisional dan Modern

Secara historis, pembelajaran urutan operasi banyak dilakukan melalui pendekatan prosedural. Guru menjelaskan aturan, siswa menghafalnya, lalu mengerjakan sejumlah latihan untuk memperkuat keterampilan berhitung. Pendekatan ini cukup efektif dalam meningkatkan kecepatan perhitungan, tetapi sering kali kurang berhasil dalam membangun pemahaman konseptual.¹⁵

Seiring berkembangnya penelitian pendidikan matematika, muncul pendekatan yang lebih menekankan pemahaman makna daripada hafalan prosedur. Dalam pendekatan ini, siswa diajak untuk menganalisis mengapa suatu operasi harus didahulukan dan bagaimana struktur ekspresi matematika memengaruhi hasil perhitungan.¹⁶

Sebagai contoh, guru dapat meminta siswa membandingkan:

2 + 3 × 4

dan

(2 + 3) × 4

kemudian mendiskusikan mengapa kedua ekspresi menghasilkan jawaban yang berbeda. Aktivitas semacam ini membantu siswa memahami fungsi tanda kurung dan prioritas operasi secara konseptual.¹⁷

Pendekatan modern juga mendorong siswa untuk menjelaskan proses berpikir mereka secara verbal maupun tertulis. Dengan cara ini, pembelajaran tidak hanya berfokus pada jawaban akhir, tetapi juga pada penalaran yang mendasarinya.

8.6.       Penggunaan Teknologi dalam Pembelajaran Urutan Operasi

Perkembangan teknologi pendidikan telah membuka berbagai peluang baru dalam pengajaran PEMDAS dan BODMAS. Kalkulator ilmiah, perangkat lunak matematika, aplikasi pembelajaran interaktif, dan platform pendidikan daring memungkinkan siswa memvisualisasikan proses perhitungan secara lebih jelas.¹⁸

Berbagai aplikasi modern mampu menampilkan langkah-langkah penyelesaian suatu ekspresi secara bertahap. Misalnya, ketika siswa memasukkan ekspresi:

(4 + 2)² ÷ 3

aplikasi dapat menunjukkan urutan pengerjaan mulai dari penyelesaian tanda kurung hingga pembagian terakhir. Fitur semacam ini membantu siswa memahami bahwa hasil akhir diperoleh melalui serangkaian langkah yang mengikuti aturan tertentu.¹⁹

Selain itu, teknologi memungkinkan guru menyajikan simulasi dan aktivitas eksploratif yang sulit dilakukan hanya dengan metode papan tulis tradisional. Penelitian menunjukkan bahwa penggunaan teknologi yang tepat dapat meningkatkan pemahaman konseptual siswa terhadap struktur matematika dan urutan operasi.²⁰

Namun demikian, para pendidik juga mengingatkan bahwa teknologi sebaiknya digunakan sebagai alat bantu, bukan sebagai pengganti pemahaman. Siswa tetap perlu memahami prinsip-prinsip dasar yang mendasari hasil yang ditampilkan oleh perangkat digital.²¹

8.7.       PEMDAS/BODMAS sebagai Fondasi Literasi Numerik

Dalam konteks yang lebih luas, penguasaan urutan operasi merupakan bagian dari literasi numerik (numeracy), yaitu kemampuan menggunakan dan memahami matematika dalam berbagai situasi kehidupan.²²

Kemampuan ini tidak hanya diperlukan dalam pembelajaran sekolah, tetapi juga dalam berbagai aktivitas sehari-hari seperti mengelola keuangan, membaca data statistik, memahami informasi ilmiah, dan menggunakan teknologi digital. Banyak aplikasi modern, mulai dari spreadsheet hingga perangkat lunak analisis data, menerapkan prinsip urutan operasi dalam proses perhitungannya.²³

Oleh karena itu, pembelajaran PEMDAS dan BODMAS memiliki relevansi yang melampaui ruang kelas. Aturan tersebut membantu siswa mengembangkan keterampilan berpikir logis, analitis, dan sistematis yang diperlukan dalam masyarakat modern yang semakin bergantung pada informasi kuantitatif.²⁴

8.8.       Evaluasi Pendidikan terhadap PEMDAS/BODMAS

Dalam evaluasi pendidikan kontemporer, para ahli umumnya sepakat bahwa PEMDAS dan BODMAS tetap memiliki nilai pedagogis yang tinggi sebagai alat bantu pengenalan urutan operasi. Akan tetapi, efektivitasnya sangat bergantung pada cara pengajarannya.²⁵

Jika diajarkan semata-mata sebagai urutan huruf yang harus dihafal, siswa mungkin mampu menyelesaikan soal rutin tetapi kesulitan menghadapi situasi baru yang memerlukan penalaran matematis. Sebaliknya, apabila diajarkan sebagai representasi struktur logis matematika, PEMDAS dan BODMAS dapat membantu siswa membangun pemahaman yang lebih mendalam mengenai bahasa matematika.²⁶

Dengan demikian, pendidikan matematika modern cenderung memandang PEMDAS dan BODMAS bukan sebagai tujuan akhir pembelajaran, melainkan sebagai sarana untuk mengembangkan kemampuan berpikir matematis yang lebih luas. Pemahaman yang baik terhadap urutan operasi menjadi landasan penting bagi keberhasilan siswa dalam mempelajari berbagai cabang matematika dan menerapkannya dalam kehidupan nyata.

---

Footnotes

[1]                ¹ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 32–36.

[2]                ² John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

[3]                ³ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–53.

[4]                ⁴ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 4th ed. (London: Sage Publications, 2013), 102–105.

[5]                ⁵ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–55.

[6]                ⁶ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 150–153.

[7]                ⁷ Ibid., 275–281.

[8]                ⁸ Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[9]                ⁹ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics, 58–61.

[10]             ¹⁰ James Hiebert et al., Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding (Portsmouth, NH: Heinemann, 1997), 44–51.

[11]             ¹¹ Margaret S. Smith and Mary Kay Stein, 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions (Reston, VA: NCTM, 2011), 18–22.

[12]             ¹² Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[13]             ¹³ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 104–106.

[14]             ¹⁴ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 152–154.

[15]             ¹⁵ Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving (Orlando, FL: Academic Press, 1985), 20–29.

[16]             ¹⁶ James Hiebert et al., Making Sense, 52–58.

[17]             ¹⁷ Margaret S. Smith and Mary Kay Stein, 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions, 29–35.

[18]             ¹⁸ Keith Devlin, Introduction to Mathematical Thinking (Stanford, CA: Stanford University Press, 2012), 33–37.

[19]             ¹⁹ Ibid., 38–41.

[20]             ²⁰ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics, 24–26.

[21]             ²¹ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 76–80.

[22]             ²² OECD, PISA 2022 Assessment and Analytical Framework (Paris: OECD Publishing, 2023), 54–61.

[23]             ²³ Keith Devlin, Introduction to Mathematical Thinking, 41–45.

[24]             ²⁴ OECD, PISA 2022 Assessment and Analytical Framework, 62–66.

[25]             ²⁵ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics, 18–21.

[26]             ²⁶ Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving, 30–37.

---

9.          Penerapan Urutan Operasi dalam Sains dan Teknologi

9.1.       Urutan Operasi sebagai Fondasi Komputasi Modern

Aturan urutan operasi merupakan salah satu fondasi yang memungkinkan matematika digunakan secara efektif dalam sains dan teknologi modern. Dalam konteks ilmiah, berbagai fenomena alam direpresentasikan melalui persamaan matematika yang sering kali melibatkan banyak operasi sekaligus. Agar hasil perhitungan dapat dipahami dan direproduksi oleh para ilmuwan di seluruh dunia, diperlukan aturan yang seragam mengenai cara mengevaluasi ekspresi tersebut.¹

PEMDAS dan BODMAS merupakan representasi pedagogis dari prinsip yang lebih umum, yaitu prioritas operator (operator precedence). Prinsip ini memungkinkan suatu ekspresi matematika memiliki makna yang jelas tanpa harus menggunakan tanda kurung secara berlebihan. Sebagai contoh, persamaan:

E = mc² + k

secara otomatis dipahami bahwa perpangkatan harus dilakukan terlebih dahulu sebelum penjumlahan. Tanpa adanya aturan prioritas, setiap ekspresi matematika akan memerlukan penjelasan tambahan yang panjang dan berpotensi menimbulkan kesalahan interpretasi.²

Dalam dunia modern yang sangat bergantung pada perhitungan digital, urutan operasi tidak hanya digunakan oleh manusia, tetapi juga diterapkan dalam berbagai sistem komputasi yang memproses jutaan hingga miliaran operasi setiap detik.³

9.2.       Urutan Operasi dalam Kalkulator Elektronik

Salah satu penerapan paling nyata dari urutan operasi dapat ditemukan pada kalkulator elektronik. Ketika pengguna memasukkan ekspresi matematika yang kompleks, kalkulator harus menentukan urutan pengerjaan sesuai dengan aturan matematika yang berlaku.⁴

Sebagai contoh, jika seseorang memasukkan:

2 + 3 × 4

kalkulator modern akan terlebih dahulu menghitung:

3 × 4 = 12

kemudian:

2 + 12 = 14

Hasil ini diperoleh karena perangkat lunak kalkulator telah diprogram untuk mengikuti aturan prioritas operasi yang sama dengan PEMDAS dan BODMAS.⁵

Pada masa awal perkembangan kalkulator elektronik, terdapat beberapa model sederhana yang hanya menghitung berdasarkan urutan tombol yang ditekan. Namun, seiring meningkatnya kompleksitas kebutuhan pengguna, sebagian besar kalkulator ilmiah dan kalkulator digital modern mulai mengimplementasikan aturan urutan operasi secara penuh.⁶

Keberadaan aturan ini memastikan bahwa hasil yang diperoleh dari kalkulator sesuai dengan standar matematika internasional dan dapat dibandingkan dengan hasil yang diperoleh melalui perhitungan manual maupun perangkat lunak lainnya.

9.3.       Urutan Operasi dalam Bahasa Pemrograman

Bahasa pemrograman komputer merupakan salah satu bidang yang sangat bergantung pada konsep urutan operasi. Ketika sebuah program menjalankan ekspresi matematika, komputer harus mengetahui operasi mana yang harus dilakukan terlebih dahulu. Untuk tujuan tersebut, setiap bahasa pemrograman memiliki sistem prioritas operator yang sebagian besar mengikuti prinsip-prinsip matematika standar.⁷

Sebagai contoh, dalam bahasa pemrograman seperti C, Java, Python, atau JavaScript, perintah:

2 + 3 * 4

akan menghasilkan nilai:

14

karena operator perkalian memiliki prioritas lebih tinggi daripada operator penjumlahan. Jika programmer menginginkan hasil yang berbeda, ia harus menggunakan tanda kurung:

(2 + 3) * 4

yang menghasilkan:

20

Dengan demikian, tanda kurung dan prioritas operator berfungsi sebagai bagian penting dari sintaks bahasa pemrograman.⁸

Konsep ini menjadi sangat penting dalam pengembangan perangkat lunak ilmiah, sistem keuangan, simulasi teknik, kecerdasan buatan, dan berbagai aplikasi lainnya yang membutuhkan perhitungan matematis yang akurat. Kesalahan dalam memahami prioritas operator dapat menyebabkan bug perangkat lunak yang berakibat serius terhadap hasil komputasi.⁹

9.4.       Penerapan dalam Fisika

Fisika merupakan salah satu disiplin ilmu yang sangat bergantung pada ekspresi matematis kompleks. Berbagai hukum fisika dituliskan dalam bentuk persamaan yang harus ditafsirkan secara konsisten agar dapat menghasilkan prediksi yang benar mengenai fenomena alam.¹⁰

Sebagai contoh, energi kinetik suatu benda dinyatakan dengan rumus:

E_k​=(1/2)​mv²

E_k​= mv²/2​

Dalam persamaan tersebut, perpangkatan kecepatan harus dihitung terlebih dahulu sebelum dilakukan perkalian dengan massa dan faktor satu per dua. Jika urutan operasi diubah, hasil yang diperoleh akan berbeda dan tidak lagi merepresentasikan energi kinetik yang sebenarnya.¹¹

Contoh lain dapat ditemukan dalam hukum gravitasi, elektromagnetisme, mekanika kuantum, dan relativitas. Persamaan-persamaan tersebut sering melibatkan operasi yang sangat kompleks sehingga penerapan aturan prioritas menjadi syarat mutlak untuk memperoleh hasil yang benar.¹²

Karena itu, urutan operasi dapat dipandang sebagai salah satu fondasi yang memungkinkan hukum-hukum fisika diterjemahkan ke dalam bentuk matematis yang dapat diuji secara empiris.

9.5.       Penerapan dalam Kimia dan Ilmu Hayat

Dalam kimia, berbagai perhitungan stoikiometri, kinetika reaksi, dan termodinamika melibatkan penggunaan persamaan matematika yang kompleks. Sebagai contoh, perhitungan konsentrasi larutan sering menggunakan formula yang mengandung beberapa operasi sekaligus.¹³

Demikian pula dalam biologi modern, khususnya bioinformatika dan genetika kuantitatif, berbagai model statistik dan matematis digunakan untuk menganalisis data biologis dalam jumlah besar. Algoritma-algoritma tersebut bergantung pada aturan urutan operasi untuk memastikan konsistensi hasil perhitungan.¹⁴

Dalam bidang farmasi, kesalahan kecil dalam evaluasi suatu ekspresi matematika dapat menyebabkan perbedaan dosis obat yang signifikan. Oleh karena itu, perangkat lunak yang digunakan dalam penelitian dan produksi farmasi menerapkan aturan prioritas operasi secara ketat guna meminimalkan risiko kesalahan.¹⁵

9.6.       Penerapan dalam Teknik dan Rekayasa

Bidang teknik (engineering) merupakan salah satu pengguna terbesar matematika terapan. Perancangan bangunan, jembatan, kendaraan, pesawat terbang, jaringan listrik, hingga sistem telekomunikasi bergantung pada model matematika yang kompleks.¹⁶

Sebagai contoh, seorang insinyur sipil yang menghitung beban struktur harus mengevaluasi persamaan yang melibatkan berbagai operasi aritmetika, aljabar, dan kalkulus. Jika urutan operasi diterapkan secara tidak tepat, hasil perhitungan dapat menyimpang dari kondisi sebenarnya dan berpotensi mengancam keselamatan konstruksi.¹⁷

Dalam teknik komputer dan teknik elektro, simulasi rangkaian listrik maupun pemrosesan sinyal digital juga sangat bergantung pada algoritma matematis yang mengikuti aturan prioritas operator. Dengan demikian, urutan operasi memainkan peran penting dalam menjamin keandalan berbagai sistem teknologi modern.¹⁸

9.7.       Penerapan dalam Ekonomi dan Keuangan

Bidang ekonomi dan keuangan menggunakan berbagai model matematika untuk menganalisis pasar, menghitung risiko, dan memprediksi tren ekonomi. Formula-formula yang digunakan sering kali mengandung kombinasi operasi yang kompleks sehingga memerlukan penerapan urutan operasi secara konsisten.¹⁹

Sebagai contoh, perhitungan bunga majemuk (compound interest) menggunakan persamaan:

A = P(1 + r)ⁿ

Dalam formula tersebut, operasi di dalam tanda kurung dan perpangkatan harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum dilakukan perkalian dengan modal awal.²⁰

Kesalahan dalam menerapkan urutan operasi dapat menghasilkan estimasi yang keliru terhadap nilai investasi, risiko keuangan, maupun proyeksi pertumbuhan ekonomi. Oleh karena itu, perangkat lunak perbankan, akuntansi, dan analisis pasar mengimplementasikan aturan prioritas operasi sebagai bagian dari sistem komputasinya.²¹

9.8.       Urutan Operasi dalam Kecerdasan Buatan dan Analisis Data

Perkembangan kecerdasan buatan (artificial intelligence) dan ilmu data (data science) semakin memperluas pentingnya urutan operasi. Algoritma pembelajaran mesin (machine learning) melibatkan ribuan hingga jutaan operasi matematis yang harus diproses secara konsisten oleh komputer.²²

Sebagai contoh, jaringan saraf tiruan (artificial neural networks) menggunakan fungsi matematis yang melibatkan perkalian matriks, penjumlahan, fungsi eksponensial, dan berbagai operasi lainnya. Semua operasi tersebut dievaluasi berdasarkan aturan prioritas yang telah ditentukan dalam perangkat lunak dan pustaka komputasi numerik.²³

Selain itu, bahasa pemrograman yang digunakan dalam ilmu data seperti Python, R, dan Julia menerapkan sistem prioritas operator yang memungkinkan para ilmuwan data menuliskan model matematis secara ringkas namun tetap jelas. Dengan cara ini, aturan urutan operasi membantu menjembatani bahasa matematika dan implementasi komputasionalnya.²⁴

9.9.       Standardisasi Internasional dalam Komputasi

Salah satu alasan utama mengapa sains modern dapat berkembang secara global adalah adanya standar yang disepakati bersama. Urutan operasi merupakan salah satu standar tersebut. Ketika seorang ilmuwan di Amerika Serikat menulis suatu persamaan, ilmuwan di Inggris, Jepang, Indonesia, atau Australia dapat menafsirkannya dengan cara yang sama.²⁵

Standardisasi ini juga diterapkan dalam perangkat lunak ilmiah seperti MATLAB, Mathematica, Maple, dan berbagai sistem aljabar komputer lainnya. Semua perangkat tersebut menggunakan prinsip prioritas operasi yang serupa sehingga hasil komputasi dapat direproduksi secara konsisten di berbagai platform.²⁶

Dalam konteks ini, PEMDAS dan BODMAS dapat dipahami sebagai bentuk pendidikan dasar dari suatu prinsip yang jauh lebih luas. Prinsip tersebut memungkinkan komunikasi ilmiah lintas negara, interoperabilitas perangkat lunak, dan konsistensi hasil komputasi dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

9.10.    Signifikansi bagi Perkembangan Peradaban Modern

Penerapan urutan operasi dalam sains dan teknologi menunjukkan bahwa aturan ini memiliki dampak yang jauh melampaui ruang kelas matematika. Aturan tersebut menjadi fondasi bagi kalkulator, komputer, bahasa pemrograman, simulasi ilmiah, sistem keuangan, kecerdasan buatan, dan berbagai teknologi yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari.²⁷

Tanpa adanya standar yang jelas mengenai cara mengevaluasi ekspresi matematika, sebagian besar sistem teknologi modern tidak akan mampu berfungsi secara konsisten. Oleh karena itu, urutan operasi dapat dipandang sebagai salah satu komponen kecil tetapi sangat mendasar dalam infrastruktur intelektual yang menopang perkembangan sains dan teknologi kontemporer.²⁸

---

Footnotes

[1]                ¹ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[2]                ² Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[3]                ³ David Berlinski, The Advent of the Algorithm (San Diego, CA: Harcourt Brace, 2000), 31–37.

[4]                ⁴ Clifford A. Pickover, The Math Book (New York: Sterling Publishing, 2009), 286–289.

[5]                ⁵ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–53.

[6]                ⁶ Paul E. Ceruzzi, A History of Modern Computing, 2nd ed. (Cambridge, MA: MIT Press, 2003), 69–74.

[7]                ⁷ Bjarne Stroustrup, Programming: Principles and Practice Using C++, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 2014), 121–125.

[8]                ⁸ Brian W. Kernighan and Dennis M. Ritchie, The C Programming Language, 2nd ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1988), 53–56.

[9]                ⁹ Andrew Hunt and David Thomas, The Pragmatic Programmer, 20th Anniversary ed. (Boston: Addison-Wesley, 2019), 101–105.

[10]             ¹⁰ Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 1 (Reading, MA: Addison-Wesley, 1963), 2–5.

[11]             ¹¹ Hugh D. Young and Roger A. Freedman, University Physics, 14th ed. (Boston: Pearson, 2016), 193–196.

[12]             ¹² David Halliday, Robert Resnick, and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, 10th ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2014), 5–9.

[13]             ¹³ Peter Atkins and Julio de Paula, Physical Chemistry, 10th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2014), 19–23.

[14]             ¹⁴ Michael L. Cain et al., Discover Biology, 7th ed. (New York: W. W. Norton, 2019), 418–423.

[15]             ¹⁵ Gareth Thomas, Medicinal Chemistry: An Introduction, 2nd ed. (Chichester: Wiley, 2007), 45–49.

[16]             ¹⁶ Raymond A. Serway and John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 9th ed. (Boston: Cengage Learning, 2014), 3–7.

[17]             ¹⁷ J. E. Gordon, Structures: Or Why Things Don't Fall Down (Boston: Da Capo Press, 2003), 23–28.

[18]             ¹⁸ Simon Haykin and Barry Van Veen, Signals and Systems, 2nd ed. (New York: Wiley, 2002), 41–47.

[19]             ¹⁹ N. Gregory Mankiw, Principles of Economics, 9th ed. (Boston: Cengage Learning, 2021), 521–525.

[20]             ²⁰ Richard A. Brealey, Stewart C. Myers, and Franklin Allen, Principles of Corporate Finance, 13th ed. (New York: McGraw-Hill, 2020), 29–34.

[21]             ²¹ Frederic S. Mishkin, The Economics of Money, Banking, and Financial Markets, 13th ed. (Boston: Pearson, 2022), 67–72.

[22]             ²² Christopher M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning (New York: Springer, 2006), 1–7.

[23]             ²³ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville, Deep Learning (Cambridge, MA: MIT Press, 2016), 95–104.

[24]             ²⁴ Wes McKinney, Python for Data Analysis, 3rd ed. (Sebastopol, CA: O’Reilly Media, 2022), 11–18.

[25]             ²⁵ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 15–18.

[26]             ²⁶ Stephen Wolfram, An Elementary Introduction to the Wolfram Language, 2nd ed. (Champaign, IL: Wolfram Media, 2017), 42–46.

[27]             ²⁷ David Berlinski, The Advent of the Algorithm, 41–48.

[28]             ²⁸ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics, 5–9.

---

10.      Kontroversi dan Soal Viral di Media Sosial

10.1.    Fenomena Soal Matematika Viral di Era Digital

Perkembangan media sosial telah mengubah cara masyarakat berinteraksi dengan pengetahuan matematika. Jika pada masa lalu perdebatan mengenai soal matematika biasanya terjadi di ruang kelas atau lingkungan akademik, kini jutaan orang dapat terlibat dalam diskusi yang sama melalui platform digital dalam waktu yang sangat singkat. Salah satu fenomena yang sering muncul adalah beredarnya soal-soal aritmetika sederhana yang diklaim memiliki lebih dari satu jawaban benar.¹

Fenomena ini menjadi menarik karena sebagian besar soal yang viral sebenarnya tidak melibatkan konsep matematika yang rumit. Sebaliknya, soal-soal tersebut biasanya hanya memuat operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, penyajian yang ambigu atau pemahaman yang kurang tepat terhadap aturan urutan operasi sering kali memicu perdebatan yang luas.²

Media sosial memperkuat fenomena ini karena algoritma platform digital cenderung mempromosikan konten yang menghasilkan banyak interaksi. Soal matematika yang menimbulkan perbedaan jawaban secara alami memicu komentar, perdebatan, dan pembagian ulang, sehingga lebih mudah menjadi viral dibandingkan penjelasan matematika yang bersifat teknis dan tidak kontroversial.³

Akibatnya, urutan operasi yang sebenarnya merupakan aturan dasar matematika sering kali menjadi topik perdebatan publik yang melibatkan jutaan pengguna internet dari berbagai latar belakang pendidikan.

10.2.    Karakteristik Soal Viral yang Menimbulkan Perdebatan

Sebagian besar soal matematika viral memiliki karakteristik yang serupa. Pertama, soal tersebut biasanya menggunakan notasi yang minim tanda kurung sehingga membuka peluang terjadinya interpretasi yang berbeda. Kedua, soal sering kali dirancang untuk mengeksploitasi kesalahpahaman umum mengenai PEMDAS atau BODMAS. Ketiga, penyusun soal sering kali sengaja memilih bentuk ekspresi yang berada di wilayah abu-abu antara konvensi modern dan praktik notasi yang lebih lama.⁴

Sebagai contoh, salah satu bentuk soal yang sering muncul adalah:

8 ÷ 2(2 + 2)

Sebagian orang memperoleh hasil:

8 ÷ 2 × 4 = 16

sedangkan sebagian lainnya memperoleh:

8 ÷ 2(4) = 1

Perbedaan jawaban ini kemudian memicu perdebatan mengenai apakah hasil yang benar adalah 16 atau 1.⁵

Fenomena semacam ini menunjukkan bahwa masalah utama sering kali bukan terletak pada matematikanya, melainkan pada cara ekspresi tersebut ditulis dan ditafsirkan. Dalam banyak kasus, notasi yang digunakan tidak cukup jelas untuk menghilangkan seluruh kemungkinan interpretasi.⁶

10.3.    Sumber Kesalahpahaman terhadap PEMDAS dan BODMAS

Salah satu penyebab utama kontroversi adalah pemahaman yang kurang tepat terhadap akronim PEMDAS dan BODMAS. Banyak orang menganggap bahwa urutan huruf dalam akronim tersebut menunjukkan hierarki absolut. Akibatnya, mereka percaya bahwa perkalian harus selalu dilakukan sebelum pembagian atau bahwa penjumlahan harus selalu didahulukan daripada pengurangan.⁷

Padahal, dalam matematika modern, perkalian dan pembagian memiliki tingkat prioritas yang sama. Demikian pula penjumlahan dan pengurangan. Jika dua operasi memiliki prioritas yang sama, pengerjaan dilakukan berdasarkan urutan kemunculan dari kiri ke kanan.⁸

Sebagai ilustrasi:

24 ÷ 6 × 2

Menurut aturan standar:

24 ÷ 6 = 4

kemudian:

4 × 2 = 8

Namun, sebagian orang secara keliru menganggap bahwa perkalian harus selalu dilakukan terlebih dahulu sehingga memperoleh hasil yang berbeda. Kesalahpahaman semacam ini sering menjadi bahan bakar utama bagi perdebatan di media sosial.⁹

Selain itu, banyak pengguna internet yang hanya mengingat akronim PEMDAS atau BODMAS tanpa memahami alasan logis yang mendasarinya. Akibatnya, ketika menghadapi ekspresi yang tidak biasa, mereka cenderung bergantung pada hafalan daripada analisis matematis yang sistematis.¹⁰

10.4.    Persoalan Notasi Implisit

Kontroversi lain yang sering muncul berkaitan dengan apa yang disebut sebagai perkalian implisit (implicit multiplication). Dalam notasi matematika, perkalian dapat ditulis secara eksplisit menggunakan simbol:

2 × 4

atau secara implisit:

2(4)

Sebagian matematikawan dan penulis buku teks pada masa lalu terkadang memperlakukan perkalian implisit sebagai bentuk pengelompokan yang lebih kuat daripada pembagian. Namun, praktik tersebut tidak diterapkan secara seragam dalam seluruh literatur matematika.¹¹

Sebagai akibatnya, ekspresi seperti:

8 ÷ 2(2 + 2)

dapat ditafsirkan secara berbeda oleh berbagai orang atau perangkat lunak, terutama apabila konteks notasinya tidak dijelaskan secara eksplisit.¹²

Dalam matematika modern dan sebagian besar bahasa pemrograman, ekspresi seperti itu sebaiknya ditulis menggunakan tanda kurung yang lebih jelas:

8 ÷ 2(2 + 2)

atau

(8 ÷ 2) (2 + 2)

agar tidak menimbulkan ambiguitas.¹³

Dengan demikian, banyak kontroversi yang muncul di media sosial sebenarnya berakar pada masalah notasi, bukan pada kelemahan aturan urutan operasi itu sendiri.

10.5.    Perbedaan antara Konvensi Historis dan Konvensi Modern

Sebagian perdebatan mengenai soal viral juga dipengaruhi oleh perubahan konvensi matematika sepanjang sejarah. Sebelum notasi matematika modern distandardisasi secara luas, berbagai penulis menggunakan aturan penulisan yang berbeda-beda.¹⁴

Pada abad ke-18 dan ke-19, misalnya, terdapat variasi dalam penggunaan simbol pembagian, tanda kurung, dan perkalian implisit. Dalam beberapa konteks, notasi tertentu dianggap cukup jelas karena ditujukan kepada komunitas pembaca yang telah memahami konvensi yang digunakan.¹⁵

Namun, matematika modern berusaha meminimalkan ambiguitas melalui penggunaan aturan sintaksis yang lebih konsisten. Oleh karena itu, sebagian soal viral yang tampak kontroversial sebenarnya muncul karena mencampurkan konvensi lama dengan cara interpretasi modern.¹⁶

Ketika ekspresi ditulis sesuai standar matematika kontemporer dan menggunakan tanda kurung yang memadai, sebagian besar kontroversi tersebut dapat dihindari.

10.6.    Peran Kalkulator dan Perangkat Lunak dalam Kontroversi

Banyak pengguna media sosial mencoba menyelesaikan perdebatan dengan menggunakan kalkulator atau perangkat lunak matematika. Akan tetapi, pendekatan ini tidak selalu menyelesaikan masalah karena berbagai perangkat lunak dapat menggunakan aturan parsing yang sedikit berbeda untuk ekspresi yang ambigu.¹⁷

Sebagai contoh, beberapa kalkulator ilmiah mungkin menafsirkan:

8 ÷ 2(2 + 2)

secara berbeda dari sistem aljabar komputer tertentu. Perbedaan tersebut bukan berarti salah satu perangkat pasti salah, melainkan menunjukkan bahwa ekspresi awalnya memang tidak cukup jelas untuk ditafsirkan secara unik.¹⁸

Dalam ilmu komputer, masalah semacam ini dikenal sebagai ambiguitas sintaksis (syntactic ambiguity). Solusi yang umum digunakan bukanlah memperdebatkan hasil akhirnya, melainkan memperbaiki bentuk ekspresinya agar hanya memiliki satu interpretasi yang mungkin.¹⁹

Hal ini menunjukkan bahwa bahkan komputer memerlukan aturan yang jelas untuk dapat mengevaluasi ekspresi matematika secara konsisten.

10.7.    Dimensi Psikologis dan Sosial dari Soal Viral

Menariknya, popularitas soal-soal matematika viral tidak hanya berkaitan dengan matematika itu sendiri, tetapi juga dengan faktor psikologis dan sosial. Banyak orang tertarik pada soal semacam ini karena memberikan kesempatan untuk menguji kemampuan intelektual mereka dan membandingkan hasilnya dengan orang lain.²⁰

Ketika seseorang memperoleh jawaban yang berbeda dari mayoritas, ia cenderung mempertahankan posisinya dan mencari pembenaran atas metode yang digunakan. Fenomena ini diperkuat oleh media sosial yang memungkinkan terbentuknya kelompok-kelompok pengguna dengan pandangan serupa.²¹

Selain itu, soal-soal kontroversial sering kali disajikan dengan narasi provokatif seperti “Hanya jenius yang bisa menjawab dengan benar” atau “90% orang salah menjawab soal ini.” Strategi semacam itu meningkatkan keterlibatan pengguna, meskipun sering kali mengorbankan ketepatan penjelasan matematis.²²

Dari perspektif pendidikan, fenomena ini menunjukkan bahwa matematika tidak hanya merupakan aktivitas intelektual, tetapi juga aktivitas sosial yang dipengaruhi oleh persepsi, identitas, dan dinamika kelompok.

10.8.    Pelajaran yang Dapat Diambil dari Kontroversi

Meskipun sering dianggap sekadar hiburan internet, soal-soal matematika viral memberikan beberapa pelajaran penting. Pertama, fenomena tersebut menunjukkan pentingnya pemahaman konseptual terhadap urutan operasi. Menghafal PEMDAS atau BODMAS tanpa memahami maknanya sering kali tidak cukup untuk menghadapi ekspresi yang tidak biasa.²³

Kedua, kontroversi tersebut mengingatkan bahwa notasi matematika harus dirancang untuk mengurangi ambiguitas. Penulis ekspresi matematika memiliki tanggung jawab untuk menggunakan tanda kurung dan simbol secara jelas agar maksudnya dapat dipahami tanpa keraguan.²⁴

Ketiga, fenomena ini memperlihatkan bahwa matematika merupakan bahasa formal yang sangat bergantung pada konvensi. Ketika konvensi tersebut diterapkan secara konsisten, hasil perhitungan dapat diverifikasi oleh siapa pun. Sebaliknya, ketika notasi yang digunakan ambigu, perbedaan interpretasi menjadi hampir tidak terhindarkan.²⁵

10.9.    Evaluasi Kritis terhadap Fenomena Soal Viral

Secara keseluruhan, sebagian besar kontroversi matematika yang beredar di media sosial tidak menunjukkan adanya kelemahan dalam aturan PEMDAS atau BODMAS. Sebaliknya, kontroversi tersebut justru menegaskan pentingnya aturan urutan operasi dalam menjaga konsistensi komunikasi matematis.²⁶

Perdebatan yang muncul biasanya disebabkan oleh kombinasi antara notasi yang ambigu, pemahaman yang kurang tepat terhadap prioritas operasi, dan perbedaan kebiasaan interpretasi. Ketika ekspresi ditulis secara jelas dan aturan standar diterapkan secara konsisten, hasil yang diperoleh pada umumnya tidak menimbulkan kontroversi.²⁷

Dengan demikian, fenomena soal viral di media sosial dapat dipandang sebagai pengingat bahwa matematika bukan sekadar persoalan memperoleh jawaban yang benar, tetapi juga persoalan menyampaikan informasi secara jelas dan tidak ambigu. Dalam konteks ini, PEMDAS dan BODMAS tetap memainkan peran penting sebagai alat yang membantu menjaga kejelasan, konsistensi, dan universalitas bahasa matematika.

---

Footnotes

[1]                ¹ Keith Devlin, The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs) (New York: Thunder's Mouth Press, 2005), 1–8.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[3]                ³ Henry Jenkins, Convergence Culture: Where Old and New Media Collide (New York: New York University Press, 2006), 18–25.

[4]                ⁴ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–56.

[5]                ⁵ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 51–53.

[6]                ⁶ Morris Kline, Mathematics for the Nonmathematician (New York: Dover Publications, 1985), 89–92.

[7]                ⁷ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[8]                ⁸ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[9]                ⁹ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 52–53.

[10]             ¹⁰ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 150–154.

[11]             ¹¹ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 1 (New York: Dover Publications, 1993), 274–279.

[12]             ¹² Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press, 1980), 27–31.

[13]             ¹³ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[14]             ¹⁴ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2011), 414–420.

[15]             ¹⁵ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 2 (New York: Dover Publications, 1993), 11–18.

[16]             ¹⁶ Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, 3rd ed. (Boston: Addison-Wesley, 2008), 611–617.

[17]             ¹⁷ Bjarne Stroustrup, Programming: Principles and Practice Using C++, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 2014), 121–125.

[18]             ¹⁸ Stephen Wolfram, An Elementary Introduction to the Wolfram Language, 2nd ed. (Champaign, IL: Wolfram Media, 2017), 42–46.

[19]             ¹⁹ Alfred V. Aho, Monica S. Lam, Ravi Sethi, and Jeffrey D. Ullman, Compilers: Principles, Techniques, and Tools, 2nd ed. (Boston: Pearson, 2007), 177–185.

[20]             ²⁰ Keith Devlin, The Math Instinct, 12–18.

[21]             ²¹ Cass R. Sunstein, #Republic: Divided Democracy in the Age of Social Media (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2017), 45–53.

[22]             ²² Henry Jenkins, Convergence Culture, 27–33.

[23]             ²³ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 58–61.

[24]             ²⁴ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 152–154.

[25]             ²⁵ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 63–67.

[26]             ²⁶ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics, 5–9.

[27]             ²⁷ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 15–18.

---

11.      Relevansi PEMDAS/BODMAS dalam Era Global

11.1.    Matematika sebagai Bahasa Universal

Dalam era globalisasi, matematika semakin berperan sebagai bahasa universal yang melampaui batas negara, budaya, dan bahasa. Berbeda dengan bahasa alami yang dapat memiliki kosakata dan tata bahasa yang berbeda-beda, matematika memungkinkan para ilmuwan, insinyur, ekonom, dan peneliti dari berbagai belahan dunia untuk berkomunikasi melalui simbol dan struktur yang relatif seragam.¹

Keberhasilan matematika sebagai bahasa universal sangat bergantung pada adanya konvensi yang disepakati bersama. Salah satu konvensi tersebut adalah aturan urutan operasi yang direpresentasikan melalui PEMDAS, BODMAS, BEDMAS, maupun akronim lain yang sejenis. Walaupun nama dan pendekatan pedagogisnya berbeda, prinsip yang mendasarinya tetap sama, yaitu memastikan bahwa suatu ekspresi matematika ditafsirkan secara identik oleh semua pihak.²

Sebagai contoh, seorang ilmuwan di Amerika Serikat yang menuliskan ekspresi:

5 + 3 × 4

akan memperoleh hasil yang sama dengan ilmuwan di Inggris, Jepang, Indonesia, atau Australia karena mereka menggunakan aturan prioritas operasi yang setara. Keseragaman ini merupakan syarat penting bagi komunikasi ilmiah global.³

Dalam konteks tersebut, PEMDAS dan BODMAS bukan sekadar alat bantu pendidikan, melainkan bagian dari infrastruktur intelektual yang memungkinkan matematika berfungsi sebagai bahasa internasional.

11.2.    Relevansi dalam Pendidikan Global

Globalisasi telah meningkatkan mobilitas peserta didik, guru, dan akademisi antarnegara. Banyak siswa melanjutkan pendidikan di luar negeri atau mengikuti kurikulum internasional yang menggabungkan berbagai tradisi pendidikan matematika. Dalam situasi seperti ini, pemahaman terhadap urutan operasi menjadi semakin penting karena berfungsi sebagai titik temu antara berbagai sistem pendidikan.⁴

Meskipun siswa di Amerika Serikat diajarkan PEMDAS dan siswa di Inggris diajarkan BODMAS, keduanya mempelajari prinsip matematika yang sama. Kesamaan ini memudahkan transfer pengetahuan dan adaptasi akademik ketika seseorang berpindah dari satu sistem pendidikan ke sistem lainnya.⁵

Selain itu, berbagai program asesmen internasional seperti Programme for International Student Assessment dan Trends in International Mathematics and Science Study mengandalkan standar matematika yang dapat diterapkan secara universal. Dalam konteks tersebut, pemahaman terhadap urutan operasi merupakan bagian dari literasi numerik yang diharapkan dimiliki oleh peserta didik di seluruh dunia.⁶

Dengan demikian, relevansi PEMDAS dan BODMAS dalam pendidikan global tidak terletak pada akronimnya, melainkan pada kemampuannya membangun pemahaman yang konsisten mengenai struktur matematika.

11.3.    Peran dalam Komunikasi Ilmiah Internasional

Perkembangan ilmu pengetahuan modern sangat bergantung pada kolaborasi lintas negara. Penelitian dalam bidang fisika, kimia, biologi, ekonomi, teknik, dan ilmu komputer sering kali melibatkan tim internasional yang bekerja sama dalam proyek yang sama.⁷

Agar hasil penelitian dapat diverifikasi dan direplikasi oleh komunitas ilmiah global, ekspresi matematika yang digunakan harus memiliki interpretasi yang seragam. Aturan urutan operasi memainkan peran penting dalam memastikan bahwa persamaan yang ditulis oleh seorang peneliti dapat dipahami secara identik oleh peneliti lain di negara yang berbeda.⁸

Sebagai contoh, sebuah artikel ilmiah yang diterbitkan dalam jurnal internasional dapat dibaca oleh ribuan peneliti di berbagai negara. Jika tidak terdapat standar yang jelas mengenai cara mengevaluasi ekspresi matematika, hasil penelitian tersebut berpotensi ditafsirkan secara berbeda dan kehilangan validitas ilmiahnya.⁹

Karena itu, urutan operasi merupakan salah satu elemen dasar yang mendukung objektivitas dan reproduktibilitas dalam komunikasi ilmiah internasional.

11.4.    Relevansi dalam Teknologi Digital Global

Era digital telah menciptakan lingkungan di mana miliaran perangkat elektronik saling terhubung melalui jaringan global. Komputer, telepon pintar, sistem navigasi, kecerdasan buatan, dan berbagai teknologi lainnya melakukan perhitungan matematis secara terus-menerus.¹⁰

Agar perangkat-perangkat tersebut dapat berinteraksi secara konsisten, mereka harus menggunakan aturan matematis yang sama. Dalam praktiknya, berbagai bahasa pemrograman dan sistem komputasi modern menerapkan konsep prioritas operator yang sejalan dengan prinsip PEMDAS dan BODMAS.¹¹

Sebagai contoh, program yang ditulis di Indonesia harus menghasilkan keluaran yang sama ketika dijalankan di Amerika Serikat, Inggris, Jepang, atau negara lainnya. Konsistensi tersebut hanya dapat dicapai apabila terdapat kesepakatan mengenai cara mengevaluasi ekspresi matematika.¹²

Dalam konteks ini, urutan operasi berfungsi sebagai standar global yang memungkinkan interoperabilitas perangkat lunak dan sistem komputasi modern.

11.5.    Literasi Numerik dalam Masyarakat Informasi

Masyarakat kontemporer semakin dibanjiri oleh data numerik yang berasal dari media massa, laporan ekonomi, statistik kesehatan, survei sosial, dan berbagai sumber lainnya. Untuk dapat memahami dan mengevaluasi informasi tersebut secara kritis, individu memerlukan tingkat literasi numerik yang memadai.¹³

Salah satu komponen dasar literasi numerik adalah kemampuan memahami bagaimana suatu ekspresi matematika dihitung dan ditafsirkan. Meskipun PEMDAS dan BODMAS tampak sederhana, konsep yang dikandungnya membantu masyarakat memahami hubungan antaroperasi dan menghindari kesalahan dalam membaca informasi kuantitatif.¹⁴

Dalam dunia kerja modern, kemampuan ini juga menjadi semakin penting. Berbagai profesi memerlukan keterampilan dalam membaca data, menggunakan spreadsheet, melakukan analisis statistik sederhana, dan memahami model matematis dasar. Semua aktivitas tersebut bergantung pada prinsip urutan operasi.¹⁵

Dengan demikian, relevansi PEMDAS dan BODMAS tidak terbatas pada ruang kelas, tetapi juga mencakup kehidupan sosial, ekonomi, dan profesional masyarakat modern.

11.6.    Tantangan dalam Era Media Sosial

Meskipun urutan operasi telah menjadi standar internasional, era media sosial menghadirkan tantangan baru dalam penyebaran pemahaman matematika. Sebagaimana dibahas pada bab sebelumnya, berbagai soal viral sering kali memunculkan kesalahpahaman mengenai PEMDAS dan BODMAS.¹⁶

Fenomena ini menunjukkan bahwa penguasaan prosedur saja tidak cukup. Masyarakat memerlukan pemahaman konseptual yang memungkinkan mereka membedakan antara ekspresi yang jelas dan ekspresi yang ambigu. Dalam lingkungan digital yang memungkinkan informasi menyebar dengan sangat cepat, kemampuan berpikir kritis terhadap notasi matematika menjadi semakin penting.¹⁷

Di sisi lain, media sosial juga menyediakan peluang baru untuk pendidikan matematika. Berbagai platform digital memungkinkan guru, dosen, dan komunikator sains menjelaskan konsep-konsep matematika kepada audiens global melalui video, infografik, simulasi interaktif, dan diskusi daring.¹⁸

Oleh karena itu, tantangan dan peluang yang muncul dalam era digital semakin menegaskan relevansi urutan operasi sebagai bagian dari literasi matematika abad ke-21.

11.7.    Relevansi dalam Pengembangan Kecerdasan Buatan

Kemajuan kecerdasan buatan (artificial intelligence) semakin memperluas pentingnya aturan urutan operasi. Sistem AI modern bergantung pada algoritma matematis yang sangat kompleks dan melibatkan jutaan operasi numerik dalam proses pelatihan maupun inferensi.¹⁹

Meskipun sebagian besar proses tersebut dilakukan secara otomatis oleh komputer, dasar-dasar komputasi yang digunakan tetap bergantung pada aturan prioritas operator yang jelas dan konsisten. Tanpa aturan tersebut, model matematika yang mendasari sistem AI tidak akan dapat dievaluasi secara andal.²⁰

Selain itu, pengembangan perangkat lunak AI dilakukan secara kolaboratif oleh peneliti dari berbagai negara. Kesamaan standar matematika memungkinkan kode, model, dan algoritma yang dikembangkan di satu tempat digunakan dan diverifikasi di tempat lain tanpa perubahan mendasar pada struktur perhitungannya.²¹

Dengan demikian, urutan operasi tetap relevan bahkan dalam teknologi paling maju yang dikembangkan pada abad ke-21.

11.8.    Standardisasi dan Masa Depan Matematika Global

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi menunjukkan bahwa kebutuhan akan standar matematika yang konsisten akan terus meningkat. Bidang-bidang baru seperti komputasi kuantum, analisis data skala besar (big data), kecerdasan buatan generatif, dan simulasi ilmiah tingkat tinggi memerlukan sistem matematika yang dapat dipahami secara seragam oleh manusia maupun mesin.²²

Dalam konteks tersebut, prinsip-prinsip yang terkandung dalam PEMDAS dan BODMAS tetap memiliki relevansi jangka panjang. Meskipun bentuk notasi matematika mungkin terus berkembang, kebutuhan akan aturan yang mengatur hubungan antaroperasi tidak akan hilang.²³

Sebaliknya, semakin kompleks sistem teknologi yang dibangun manusia, semakin penting pula keberadaan konvensi yang menjamin konsistensi interpretasi matematis. Oleh karena itu, urutan operasi dapat dipandang sebagai salah satu fondasi yang memungkinkan perkembangan matematika global terus berlanjut.

11.9.    Refleksi Akhir

Pada pandangan pertama, PEMDAS dan BODMAS mungkin tampak sebagai materi dasar yang hanya relevan dalam pendidikan sekolah. Namun, analisis yang lebih mendalam menunjukkan bahwa aturan tersebut memiliki signifikansi yang jauh lebih luas. Dari ruang kelas hingga laboratorium penelitian, dari kalkulator sederhana hingga kecerdasan buatan, prinsip urutan operasi menjadi bagian dari mekanisme yang menjaga konsistensi komunikasi matematis di seluruh dunia.²⁴

Dalam era global yang ditandai oleh pertukaran informasi, kolaborasi internasional, dan perkembangan teknologi yang pesat, kebutuhan akan standar matematika yang universal menjadi semakin penting. Oleh karena itu, relevansi PEMDAS dan BODMAS tidak terletak pada akronim yang digunakan, melainkan pada fungsi fundamentalnya sebagai sarana untuk memastikan bahwa bahasa matematika tetap dapat dipahami secara seragam oleh manusia dan mesin di seluruh dunia.²⁵

---

Footnotes

[1]                ¹ Keith Devlin, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible (New York: Henry Holt and Company, 1998), 3–12.

[2]                ² Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 63–67.

[3]                ³ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[4]                ⁴ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

[5]                ⁵ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 4th ed. (London: Sage Publications, 2013), 102–106.

[6]                ⁶ OECD, PISA 2022 Assessment and Analytical Framework (Paris: OECD Publishing, 2023), 54–66.

[7]                ⁷ Alan F. Chalmers, What Is This Thing Called Science?, 4th ed. (Indianapolis: Hackett Publishing, 2013), 135–142.

[8]                ⁸ Karl R. Popper, The Logic of Scientific Discovery (London: Routledge, 2002), 18–24.

[9]                ⁹ Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions, 4th ed. (Chicago: University of Chicago Press, 2012), 176–180.

[10]             ¹⁰ Manuel Castells, The Rise of the Network Society, 2nd ed. (Malden, MA: Wiley-Blackwell, 2010), 69–77.

[11]             ¹¹ Bjarne Stroustrup, Programming: Principles and Practice Using C++, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 2014), 121–125.

[12]             ¹² Brian W. Kernighan and Dennis M. Ritchie, The C Programming Language, 2nd ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1988), 53–56.

[13]             ¹³ OECD, PISA 2022 Assessment and Analytical Framework, 62–66.

[14]             ¹⁴ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 58–61.

[15]             ¹⁵ Keith Devlin, The Math Instinct (New York: Thunder's Mouth Press, 2005), 215–221.

[16]             ¹⁶ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[17]             ¹⁷ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 152–154.

[18]             ¹⁸ Henry Jenkins, Convergence Culture: Where Old and New Media Collide (New York: New York University Press, 2006), 27–35.

[19]             ¹⁹ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville, Deep Learning (Cambridge, MA: MIT Press, 2016), 95–104.

[20]             ²⁰ Christopher M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning (New York: Springer, 2006), 1–7.

[21]             ²¹ Stuart Russell and Peter Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach, 4th ed. (Harlow: Pearson, 2021), 27–31.

[22]             ²² Melanie Mitchell, Artificial Intelligence: A Guide for Thinking Humans (New York: Farrar, Straus and Giroux, 2019), 211–218.

[23]             ²³ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[24]             ²⁴ Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[25]             ²⁵ Keith Devlin, The Language of Mathematics, 15–21.

---

12.      Kritik dan Evaluasi Konseptual

12.1.    Pengantar: Antara Kepraktisan dan Pemahaman Konseptual

PEMDAS dan BODMAS telah lama menjadi bagian penting dalam pendidikan matematika di berbagai negara. Kedua akronim tersebut berfungsi sebagai alat bantu pedagogis yang memudahkan siswa mengingat urutan operasi matematika. Dari sudut pandang praktis, pendekatan ini terbukti efektif dalam membantu peserta didik menyelesaikan berbagai ekspresi aritmetika dan aljabar secara konsisten.¹

Meskipun demikian, berbagai ahli pendidikan matematika dan filsuf matematika mengemukakan sejumlah kritik terhadap cara PEMDAS dan BODMAS diajarkan maupun dipahami. Kritik tersebut tidak ditujukan pada prinsip urutan operasi itu sendiri, melainkan pada kecenderungan untuk memperlakukan akronim tersebut sebagai tujuan pembelajaran, bukan sebagai sarana untuk memahami struktur matematika yang lebih mendasar.²

Evaluasi konseptual terhadap PEMDAS dan BODMAS penting dilakukan agar pembelajaran matematika tidak berhenti pada hafalan prosedural, tetapi berkembang menjadi pemahaman yang lebih mendalam mengenai bahasa dan logika matematika.

12.2.    Kelebihan PEMDAS dan BODMAS

12.2.1. Menyediakan Standar yang Konsisten

Salah satu kelebihan utama PEMDAS dan BODMAS adalah kemampuannya menyediakan standar yang konsisten untuk mengevaluasi ekspresi matematika. Dengan adanya aturan yang disepakati bersama, setiap orang dapat memperoleh hasil yang sama ketika mengerjakan suatu ekspresi yang identik.³

Sebagai contoh:

4 + 2 × 3

akan selalu menghasilkan:

10

apabila aturan urutan operasi diterapkan secara benar.

Konsistensi semacam ini sangat penting dalam pendidikan, penelitian ilmiah, teknologi, dan komunikasi matematika secara umum. Tanpa aturan yang jelas, ekspresi matematika akan rentan terhadap berbagai interpretasi yang berbeda.⁴

12.2.2. Mempermudah Proses Pembelajaran

Sebagai alat bantu mengingat (mnemonic device), PEMDAS dan BODMAS membantu siswa mengorganisasi langkah-langkah perhitungan secara sistematis. Penggunaan akronim memungkinkan peserta didik memahami aturan dasar matematika dengan relatif cepat dibandingkan jika mereka harus mempelajari seluruh struktur formal matematika sejak awal.⁵

Dalam pendidikan dasar dan menengah, pendekatan ini terbukti efektif untuk membangun keterampilan prosedural yang diperlukan sebelum siswa mempelajari konsep yang lebih abstrak seperti aljabar dan kalkulus.⁶

12.2.3. Mendukung Komunikasi Matematika

PEMDAS dan BODMAS juga berkontribusi terhadap efisiensi komunikasi matematika. Karena aturan urutan operasi telah diketahui secara luas, penulis tidak perlu menggunakan tanda kurung secara berlebihan untuk menjelaskan maksud setiap ekspresi.⁷

Dengan demikian, notasi matematika dapat ditulis secara lebih ringkas tanpa kehilangan kejelasan maknanya. Hal ini menjadi salah satu faktor yang mendukung perkembangan matematika sebagai bahasa ilmiah yang efektif.

12.3.    Kritik terhadap PEMDAS dan BODMAS

12.3.1. Mendorong Hafalan Mekanis

Kritik yang paling sering diajukan adalah bahwa PEMDAS dan BODMAS sering diajarkan sebagai rumus hafalan tanpa penjelasan konseptual yang memadai. Akibatnya, siswa cenderung mengingat urutan huruf dalam akronim tanpa memahami alasan logis yang mendasarinya.⁸

Fenomena ini terlihat ketika siswa mampu mengerjakan soal-soal rutin tetapi mengalami kesulitan ketika menghadapi bentuk ekspresi yang sedikit berbeda dari contoh yang biasa mereka temui. Dalam kasus seperti itu, hafalan prosedural tidak lagi cukup untuk mendukung pemecahan masalah yang fleksibel.⁹

Para ahli pendidikan matematika menegaskan bahwa pemahaman konseptual harus berjalan seiring dengan penguasaan prosedur. Jika tidak, siswa berisiko memandang matematika sebagai sekumpulan aturan arbitrer yang harus dihafal daripada sebagai sistem yang memiliki struktur logis.¹⁰

12.3.2. Akronim yang Berpotensi Menyesatkan

Kritik lain berkaitan dengan struktur akronim itu sendiri. Banyak siswa menginterpretasikan urutan huruf dalam PEMDAS dan BODMAS sebagai urutan absolut. Akibatnya, mereka menganggap bahwa perkalian harus selalu dilakukan sebelum pembagian atau bahwa penjumlahan harus selalu dilakukan sebelum pengurangan.¹¹

Padahal, dalam matematika formal, perkalian dan pembagian memiliki tingkat prioritas yang sama. Demikian pula penjumlahan dan pengurangan. Jika dua operasi memiliki prioritas yang sama, pengerjaannya dilakukan dari kiri ke kanan.¹²

Sebagai contoh:

24 ÷ 6 × 2

harus dihitung sebagai:

(24 ÷ 6) × 2 = 8

bukan:

24 ÷ (6 × 2) = 2

Kesalahpahaman ini menunjukkan bahwa akronim yang dirancang untuk membantu pembelajaran terkadang justru dapat menimbulkan interpretasi yang keliru.¹³

12.3.3. Menyembunyikan Struktur Matematika yang Lebih Dalam

Sebagian pendidik berpendapat bahwa fokus berlebihan pada PEMDAS dan BODMAS dapat mengalihkan perhatian siswa dari struktur matematis yang sebenarnya. Dalam matematika tingkat lanjut, yang terpenting bukanlah mengingat urutan huruf tertentu, melainkan memahami hubungan antaroperasi dalam suatu ekspresi.¹⁴

Sebagai contoh, seorang matematikawan tidak berpikir tentang PEMDAS ketika membaca ekspresi:

a + bc

melainkan langsung mengenali struktur aljabarnya. Dengan kata lain, pemahaman yang mendalam mengenai matematika pada akhirnya melampaui kebutuhan akan akronim-akronim pedagogis tersebut.¹⁵

Dari perspektif ini, PEMDAS dan BODMAS hanya merupakan tahap awal dalam perjalanan menuju pemahaman matematis yang lebih matang.

12.4.    Kritik Filosofis: Apakah Urutan Operasi Bersifat Alamiah?

Dari sudut pandang filsafat matematika, muncul pertanyaan apakah urutan operasi merupakan bagian dari realitas matematika itu sendiri atau sekadar konvensi yang diciptakan manusia. Pertanyaan ini menjadi penting karena banyak siswa menganggap urutan operasi sebagai sesuatu yang bersifat mutlak dan tidak dapat diubah.¹⁶

Secara historis, aturan prioritas operasi berkembang sebagai solusi terhadap masalah komunikasi matematis. Tidak ada hukum alam yang secara intrinsik mengharuskan perkalian dilakukan sebelum penjumlahan. Secara teoritis, komunitas matematika dapat saja mengembangkan konvensi yang berbeda.¹⁷

Namun demikian, setelah konvensi tersebut diterima secara luas dan menjadi bagian dari sistem matematika modern, mengubahnya akan menimbulkan biaya intelektual yang sangat besar. Oleh karena itu, walaupun urutan operasi memiliki unsur konvensional, penerapannya saat ini bersifat praktis dan hampir universal.¹⁸

Kritik filosofis ini membantu menunjukkan bahwa matematika tidak hanya terdiri atas kebenaran abstrak, tetapi juga melibatkan perkembangan historis dan kesepakatan sosial yang mendukung komunikasi ilmiah.

12.5.    Kritik terhadap Soal-Soal Viral Berbasis Urutan Operasi

Fenomena soal matematika viral di media sosial telah memunculkan kritik terhadap cara urutan operasi dipresentasikan kepada masyarakat. Banyak soal viral dirancang bukan untuk menguji pemahaman matematika, melainkan untuk menciptakan kontroversi melalui penggunaan notasi yang ambigu.¹⁹

Sebagai contoh:

8 ÷ 2(2 + 2)

sering digunakan untuk memancing perdebatan mengenai apakah hasilnya 1 atau 16. Dalam banyak kasus, ekspresi semacam ini sebenarnya ditulis dengan cara yang tidak ideal karena membuka ruang bagi interpretasi yang berbeda.²⁰

Dari perspektif pendidikan matematika, fokus seharusnya tidak terletak pada mencari jawaban yang “menjebak,” tetapi pada membangun kemampuan siswa untuk menulis dan menafsirkan ekspresi matematika secara jelas.²¹

Kontroversi tersebut menunjukkan bahwa masalah utama sering kali bukan pada aturan urutan operasi, melainkan pada kualitas notasi yang digunakan.

12.6.    Evaluasi Pedagogis Kontemporer

Penelitian pendidikan matematika modern cenderung mengambil posisi yang lebih seimbang terhadap PEMDAS dan BODMAS. Para peneliti umumnya mengakui bahwa akronim tersebut memiliki nilai pedagogis yang nyata, terutama pada tahap awal pembelajaran.²²

Namun, mereka juga menekankan bahwa penggunaan akronim harus disertai dengan penjelasan mengenai:

1)                  Mengapa urutan operasi diperlukan.

2)                  Bagaimana struktur ekspresi matematika dibangun.

3)                  Mengapa beberapa operasi memiliki prioritas yang sama.

4)                  Bagaimana tanda kurung memengaruhi makna suatu ekspresi.

Dengan pendekatan ini, PEMDAS dan BODMAS tidak dipandang sebagai tujuan akhir pembelajaran, melainkan sebagai alat untuk memperkenalkan siswa pada cara berpikir matematis yang lebih mendalam.²³

12.7.    Alternatif Pendekatan dalam Pendidikan Matematika

Sejumlah pendidik mengusulkan pendekatan alternatif yang lebih menekankan struktur ekspresi daripada hafalan akronim. Dalam pendekatan ini, siswa diajak menganalisis ekspresi matematika sebagai objek yang memiliki organisasi internal, mirip dengan struktur kalimat dalam bahasa.²⁴

Sebagai contoh, daripada hanya menghafal PEMDAS, siswa dapat diajarkan untuk mengidentifikasi:

·                     Operasi utama (main operation).

·                     Operasi yang berada di dalam tanda kurung.

·                     Hubungan antarbagian ekspresi.

·                     Hierarki simbol yang membentuk struktur matematika.

Pendekatan ini dianggap lebih dekat dengan cara para matematikawan dan ilmuwan sebenarnya berpikir ketika bekerja dengan ekspresi matematika yang kompleks.²⁵

Meskipun demikian, pendekatan struktural tidak harus menggantikan PEMDAS atau BODMAS sepenuhnya. Dalam praktiknya, kedua pendekatan dapat saling melengkapi.

12.8.    Sintesis dan Penilaian Akhir

Berdasarkan berbagai kritik dan evaluasi yang telah dibahas, dapat disimpulkan bahwa PEMDAS dan BODMAS merupakan alat pedagogis yang efektif tetapi tidak sempurna. Kelebihan utamanya terletak pada kemampuannya menyederhanakan aturan urutan operasi sehingga mudah dipahami oleh siswa. Namun, efektivitas tersebut dapat berkurang apabila pembelajaran terlalu menekankan hafalan dan mengabaikan pemahaman konseptual.²⁶

Dari perspektif filosofis, urutan operasi dapat dipahami sebagai konvensi yang berkembang secara historis untuk mendukung komunikasi matematis yang jelas dan konsisten. Dari perspektif pendidikan, akronim seperti PEMDAS dan BODMAS sebaiknya diperlakukan sebagai titik awal, bukan titik akhir, dalam pembelajaran matematika.²⁷

Dengan demikian, evaluasi konseptual terhadap PEMDAS dan BODMAS menunjukkan bahwa nilai sebenarnya dari kedua sistem tersebut tidak terletak pada urutan huruf yang dikandungnya, melainkan pada kemampuannya membantu siswa memahami struktur logis matematika. Ketika diajarkan secara reflektif dan konseptual, PEMDAS dan BODMAS tetap merupakan instrumen pedagogis yang relevan dalam pendidikan matematika modern.

---

Footnotes

[1]                ¹ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–151.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[3]                ³ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra (Alameda, CA: Art of Problem Solving, 2011), 49–53.

[4]                ⁴ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–8.

[5]                ⁵ Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–55.

[6]                ⁶ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 4th ed. (London: Sage Publications, 2013), 102–105.

[7]                ⁷ Keith Devlin, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible (New York: Henry Holt and Company, 1998), 15–21.

[8]                ⁸ Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving (Orlando, FL: Academic Press, 1985), 20–29.

[9]                ⁹ James Hiebert et al., Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding (Portsmouth, NH: Heinemann, 1997), 44–58.

[10]             ¹⁰ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 58–61.

[11]             ¹¹ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[12]             ¹² Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[13]             ¹³ Richard Rusczyk and David Patrick, Prealgebra, 51–53.

[14]             ¹⁴ Paul Lockhart, Arithmetic, 70–73.

[15]             ¹⁵ Keith Devlin, The Language of Mathematics, 31–36.

[16]             ¹⁶ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 63–67.

[17]             ¹⁷ Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press, 1980), 27–31.

[18]             ¹⁸ Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, rev. ed. (Cambridge, MA: MIT Press, 1978), 195–202.

[19]             ¹⁹ Henry Jenkins, Convergence Culture: Where Old and New Media Collide (New York: New York University Press, 2006), 27–35.

[20]             ²⁰ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 2 (New York: Dover Publications, 1993), 11–18.

[21]             ²¹ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics, 152–154.

[22]             ²² National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics, 58–61.

[23]             ²³ James Hiebert et al., Making Sense, 52–58.

[24]             ²⁴ Alan H. Schoenfeld, Mathematical Problem Solving, 30–37.

[25]             ²⁵ Keith Devlin, The Language of Mathematics, 36–42.

[26]             ²⁶ Derek Haylock and Anne Cockburn, Understanding Mathematics for Young Children, 104–106.

[27]             ²⁷ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics, 67–70.

---

13.      Penutup

13.1.    Kesimpulan

Kajian mengenai PEMDAS dan BODMAS menunjukkan bahwa aturan urutan operasi merupakan salah satu fondasi penting dalam matematika modern. Aturan ini dikembangkan untuk mengatasi ambiguitas dalam penulisan dan interpretasi ekspresi matematika, sehingga memungkinkan setiap orang memperoleh hasil yang sama ketika mengevaluasi suatu perhitungan. Tanpa adanya aturan yang disepakati secara luas, matematika akan kehilangan sebagian besar kemampuannya sebagai bahasa formal yang konsisten dan universal.¹

Pembahasan dalam artikel ini menunjukkan bahwa PEMDAS yang umum digunakan di Amerika Serikat dan BODMAS yang lazim digunakan di Inggris serta negara-negara Persemakmuran pada dasarnya merepresentasikan prinsip matematika yang sama. Perbedaan keduanya terutama terletak pada terminologi dan pendekatan pedagogis, bukan pada substansi matematisnya. Baik PEMDAS maupun BODMAS menempatkan tanda kurung sebagai prioritas tertinggi, diikuti operasi perpangkatan atau bentuk eksponensial lainnya, kemudian perkalian dan pembagian, serta terakhir penjumlahan dan pengurangan.²

Kajian historis menunjukkan bahwa urutan operasi tidak muncul secara tiba-tiba, melainkan berkembang seiring evolusi notasi matematika. Dari sistem perhitungan retoris pada peradaban kuno hingga simbolisme aljabar modern, kebutuhan akan aturan yang mampu menghilangkan ambiguitas semakin mendorong terbentuknya standar yang kini digunakan secara global. Perkembangan tersebut juga tidak dapat dipisahkan dari kontribusi berbagai peradaban, termasuk Yunani, India, dunia Islam, dan Eropa, yang secara bersama-sama membentuk fondasi matematika modern.³

Dari sudut pandang logis dan filosofis, urutan operasi dapat dipahami sebagai bagian dari sintaks matematika yang mengatur hubungan antar simbol dalam suatu ekspresi. Walaupun secara historis aturan ini bersifat konvensional, keberadaannya menjadi sangat penting karena memungkinkan matematika berfungsi sebagai sistem formal yang koheren. Dalam konteks ini, PEMDAS dan BODMAS bukan sekadar teknik berhitung, melainkan representasi dari struktur logis yang mendasari bahasa matematika.⁴

Kajian ini juga menunjukkan bahwa penerapan urutan operasi memiliki relevansi yang sangat luas. Selain menjadi bagian penting dalam pendidikan matematika, aturan tersebut berperan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, mulai dari fisika, kimia, teknik, ekonomi, hingga ilmu komputer dan kecerdasan buatan. Hampir seluruh sistem komputasi modern bergantung pada prinsip prioritas operator yang merupakan bentuk implementasi langsung dari konsep urutan operasi.⁵

Fenomena soal-soal matematika viral di media sosial memperlihatkan bahwa kesalahpahaman terhadap PEMDAS dan BODMAS masih cukup umum terjadi. Sebagian besar kontroversi yang muncul bukan disebabkan oleh kelemahan aturan urutan operasi itu sendiri, melainkan oleh notasi yang ambigu atau pemahaman yang kurang tepat mengenai prioritas operasi. Hal ini menunjukkan pentingnya pendidikan matematika yang menekankan pemahaman konseptual, bukan sekadar hafalan prosedural.⁶

Secara keseluruhan, PEMDAS dan BODMAS dapat dipandang sebagai instrumen pedagogis yang efektif untuk memperkenalkan konsep urutan operasi kepada peserta didik. Namun, nilai sesungguhnya dari kedua sistem tersebut tidak terletak pada akronim yang digunakan, melainkan pada prinsip matematis yang dikandungnya. Prinsip itulah yang memungkinkan matematika menjadi bahasa universal yang dapat digunakan secara konsisten oleh manusia maupun mesin di seluruh dunia.⁷

13.2.    Implikasi

Hasil kajian ini memiliki beberapa implikasi penting. Pertama, dalam bidang pendidikan matematika, pengajaran PEMDAS dan BODMAS sebaiknya tidak hanya berfokus pada hafalan urutan huruf, tetapi juga pada pemahaman mengenai struktur dan logika ekspresi matematika. Pendekatan semacam ini akan membantu siswa mengembangkan kemampuan berpikir matematis yang lebih mendalam dan fleksibel.⁸

Kedua, dalam bidang sains dan teknologi, pemahaman yang benar mengenai urutan operasi tetap menjadi kebutuhan mendasar. Perkembangan teknologi digital, komputasi numerik, analisis data, dan kecerdasan buatan semakin memperkuat pentingnya aturan prioritas operasi sebagai bagian dari standar internasional yang menjamin konsistensi hasil perhitungan.⁹

Ketiga, dalam konteks masyarakat informasi, literasi numerik menjadi semakin penting. Kemampuan memahami hubungan antaroperasi matematika membantu individu membaca, menafsirkan, dan mengevaluasi informasi kuantitatif secara lebih kritis. Oleh karena itu, pemahaman terhadap urutan operasi memiliki relevansi yang melampaui kebutuhan akademik semata.¹⁰

13.3.    Rekomendasi

Berdasarkan hasil kajian ini, beberapa rekomendasi dapat diajukan. Pertama, pengajaran urutan operasi di sekolah perlu lebih menekankan pemahaman konseptual mengenai struktur ekspresi matematika daripada sekadar penggunaan akronim. PEMDAS dan BODMAS sebaiknya diperlakukan sebagai alat bantu awal, bukan sebagai tujuan akhir pembelajaran.¹¹

Kedua, penulis buku teks, pendidik, dan pembuat konten pendidikan perlu mendorong penggunaan notasi matematika yang jelas dan tidak ambigu. Penggunaan tanda kurung secara tepat dapat mengurangi kesalahpahaman yang sering muncul dalam berbagai diskusi matematika, termasuk yang beredar di media sosial.¹²

Ketiga, penelitian lebih lanjut mengenai pembelajaran urutan operasi perlu terus dilakukan, terutama dalam kaitannya dengan perkembangan teknologi pendidikan dan kecerdasan buatan. Kajian semacam ini dapat membantu mengembangkan strategi pembelajaran yang lebih efektif dan sesuai dengan kebutuhan generasi digital.¹³

Akhirnya, kajian ini menegaskan bahwa aturan urutan operasi merupakan salah satu contoh bagaimana suatu konvensi matematis dapat berkembang menjadi standar global yang mendukung komunikasi ilmiah, pendidikan, dan teknologi. Walaupun sering dipandang sebagai materi dasar, PEMDAS dan BODMAS sesungguhnya mencerminkan prinsip-prinsip yang sangat mendalam mengenai logika, bahasa formal, dan struktur matematika. Pemahaman yang baik terhadap prinsip-prinsip tersebut tidak hanya membantu seseorang menghitung dengan benar, tetapi juga memperkuat kemampuan berpikir sistematis yang menjadi ciri penting literasi ilmiah dalam masyarakat modern.¹⁴

---

Footnotes

[1]                ¹ Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. (New York: Oxford University Press, 1996), 3–7.

[2]                ² Paul Lockhart, Arithmetic (Cambridge, MA: Belknap Press of Harvard University Press, 2017), 67–73.

[3]                ³ Carl B. Boyer and Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd ed. (Hoboken, NJ: Wiley, 2011), 1–12, 414–420.

[4]                ⁴ Stewart Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2000), 63–70.

[5]                ⁵ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. (Boston: Addison-Wesley, 1994), 3–9.

[6]                ⁶ David Darling, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (Hoboken, NJ: Wiley, 2004), 221–223.

[7]                ⁷ Keith Devlin, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible (New York: Henry Holt and Company, 1998), 15–21.

[8]                ⁸ John A. Van de Walle, Karen S. Karp, and Jennifer M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. (Boston: Pearson, 2013), 148–154.

[9]                ⁹ Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 7th ed. (New York: McGraw-Hill, 2012), 15–18.

[10]             ¹⁰ OECD, PISA 2022 Assessment and Analytical Framework (Paris: OECD Publishing, 2023), 62–66.

[11]             ¹¹ National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics (Reston, VA: NCTM, 2000), 58–61.

[12]             ¹² Alfred S. Posamentier and Jay Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1990), 52–56.

[13]             ¹³ James Hiebert et al., Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding (Portsmouth, NH: Heinemann, 1997), 52–58.

[14]             ¹⁴ Keith Devlin, The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs) (New York: Thunder's Mouth Press, 2005), 215–221.

---

Daftar Pustaka

Aho, A. V., Lam, M. S., Sethi, R., & Ullman, J. D. (2007). Compilers: Principles, techniques, and tools (2nd ed.). Pearson.

Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Physical chemistry (10th ed.). Oxford University Press.

Berlinski, D. (2000). The advent of the algorithm. Harcourt Brace.

Bishop, C. M. (2006). Pattern recognition and machine learning. Springer.

Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics (3rd ed.). Wiley.

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of corporate finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.

Cajori, F. (1993). A history of mathematical notations (Vols. 1–2). Dover Publications. (Original work published 1928–1929)

Cain, M. L., Wasserman, S. A., Minorsky, P. V., & Reece, J. B. (2019). Discover biology (7th ed.). W. W. Norton & Company.

Castells, M. (2010). The rise of the network society (2nd ed.). Wiley-Blackwell.

Ceruzzi, P. E. (2003). A history of modern computing (2nd ed.). MIT Press.

Chalmers, A. F. (2013). What is this thing called science? (4th ed.). Hackett Publishing.

Courant, R., & Robbins, H. (1996). What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods (2nd ed.). Oxford University Press.

Darling, D. (2004). The universal book of mathematics: From abracadabra to Zeno’s paradoxes. Wiley.

Devlin, K. (1998). The language of mathematics: Making the invisible visible. Henry Holt and Company.

Devlin, K. (2005). The math instinct: Why you're a mathematical genius (along with lobsters, birds, cats, and dogs). Thunder’s Mouth Press.

Devlin, K. (2012). Introduction to mathematical thinking. Stanford University.

Dummett, M. (1991). Frege: Philosophy of mathematics. Harvard University Press.

Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1963). The Feynman lectures on physics (Vol. 1). Addison-Wesley.

Frege, G. (1980). The foundations of arithmetic (J. L. Austin, Trans.). Northwestern University Press. (Original work published 1884)

Gardiner, T. (2003). Understanding infinity: The mathematics of infinite processes. Cambridge University Press.

Gheverghese Joseph, G. (2011). The crest of the peacock: Non-European roots of mathematics (3rd ed.). Princeton University Press.

Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep learning. MIT Press.

Gordon, J. E. (2003). Structures: Or why things don’t fall down. Da Capo Press.

Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete mathematics: A foundation for computer science (2nd ed.). Addison-Wesley.

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2014). Fundamentals of physics (10th ed.). Wiley.

Haykin, S., & Van Veen, B. (2002). Signals and systems (2nd ed.). Wiley.

Haylock, D., & Cockburn, A. (2013). Understanding mathematics for young children (4th ed.). Sage Publications.

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., Olivier, A., & Wearne, D. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Heinemann.

Hilbert, D. (1950). Foundations of geometry (E. J. Townsend, Trans.). Open Court. (Original work published 1899)

Hunt, A., & Thomas, D. (2019). The pragmatic programmer (20th anniversary ed.). Addison-Wesley.

Imhausen, A. (2016). Mathematics in ancient Egypt: A contextual history. Princeton University Press.

Jenkins, H. (2006). Convergence culture: Where old and new media collide. New York University Press.

Katz, V. J. (2008). A history of mathematics: An introduction (3rd ed.). Addison-Wesley.

Kernighan, B. W., & Ritchie, D. M. (1988). The C programming language (2nd ed.). Prentice Hall.

Kline, M. (1972). Mathematical thought from ancient to modern times (Vols. 1–3). Oxford University Press.

Kline, M. (1980). Mathematics: The loss of certainty. Oxford University Press.

Kline, M. (1985). Mathematics for the nonmathematician. Dover Publications.

Kuhn, T. S. (2012). The structure of scientific revolutions (4th ed.). University of Chicago Press.

Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. Cambridge University Press.

Lockhart, P. (2017). Arithmetic. Belknap Press of Harvard University Press.

Mankiw, N. G. (2021). Principles of economics (9th ed.). Cengage Learning.

McKinney, W. (2022). Python for data analysis (3rd ed.). O’Reilly Media.

Mishkin, F. S. (2022). The economics of money, banking, and financial markets (13th ed.). Pearson.

Mitchell, M. (2019). Artificial intelligence: A guide for thinking humans. Farrar, Straus and Giroux.

Nagel, E., & Newman, J. R. (2001). Gödel’s proof (Rev. ed.). New York University Press.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.

OECD. (2023). PISA 2022 assessment and analytical framework. OECD Publishing.

Pickover, C. A. (2009). The math book. Sterling Publishing.

Popper, K. R. (2002). The logic of scientific discovery. Routledge.

Posamentier, A. S., & Stepelman, J. (1990). Teaching secondary school mathematics: Techniques and enrichment units. Prentice Hall.

Resnik, M. D. (1997). Mathematics as a science of patterns. Oxford University Press.

Robson, E. (2008). Mathematics in ancient Iraq: A social history. Princeton University Press.

Rosen, K. H. (2012). Discrete mathematics and its applications (7th ed.). McGraw-Hill.

Rusczyk, R., & Patrick, D. (2011). Prealgebra. Art of Problem Solving.

Russell, B. (1919). Introduction to mathematical philosophy. George Allen & Unwin.

Russell, S., & Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: A modern approach (4th ed.). Pearson.

Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press.

Shapiro, S. (1997). Philosophy of mathematics: Structure and ontology. Oxford University Press.

Shapiro, S. (2000). Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics. Oxford University Press.

Smith, M. S., & Stein, M. K. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions. National Council of Teachers of Mathematics.

Smullyan, R. M. (1995). First-order logic. Dover Publications.

Stroustrup, B. (2014). Programming: Principles and practice using C++ (2nd ed.). Addison-Wesley.

Sunstein, C. R. (2017). #Republic: Divided democracy in the age of social media. Princeton University Press.

Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Dover Publications.

Thomas, G. (2007). Medicinal chemistry: An introduction (2nd ed.). Wiley.

Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2013). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (8th ed.). Pearson.

Wittgenstein, L. (1978). Remarks on the foundations of mathematics (Rev. ed.). MIT Press.

Wolfram, S. (2017). An elementary introduction to the Wolfram language (2nd ed.). Wolfram Media.

Young, H. D., & Freedman, R. A. (2016). University physics (14th ed.). Pearson.

---