Teorema
Definisi, Jenis, dan Aplikasinya dalam Ilmu Pengetahuan
Abstrak
Artikel ini mengulas secara mendalam konsep teorema
sebagai fondasi dalam pengembangan ilmu pengetahuan, dengan penekanan pada
definisi, jenis, metode pembuktian, dan aplikasinya dalam berbagai disiplin
ilmu. Teorema didefinisikan sebagai pernyataan matematis yang dibuktikan
kebenarannya melalui logika deduktif, berfungsi sebagai landasan bagi teori
yang lebih kompleks. Artikel ini mengkaji jenis-jenis teorema berdasarkan
disiplin ilmu (matematika, fisika, ilmu komputer), jenis pembuktian
(konstruktif dan eksistensial), serta aplikasinya (teoritis dan praktis).
Pembuktian teorema dijelaskan melalui metode
pembuktian langsung, tidak langsung, dan induksi matematika, dilengkapi dengan
contoh kasus seperti Teorema Pythagoras dan Teorema Fundamental
Aljabar. Selain itu, aplikasi teorema dieksplorasi dalam berbagai bidang,
termasuk pendidikan, teknologi, keuangan, dan kehidupan sehari-hari. Misalnya, Teorema
Fourier digunakan dalam analisis sinyal digital, sementara Teorema Limit
Tengah mendukung pengambilan keputusan berbasis data.
Artikel ini menyimpulkan bahwa teorema tidak hanya
memainkan peran penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan tetapi juga menjadi
alat pembelajaran yang efektif dalam membangun pola pikir logis dan analitis.
Dengan menghubungkan teori dan praktik, teorema memiliki relevansi universal
yang melintasi batas disiplin ilmu. Kajian ini memberikan wawasan tentang
signifikansi teorema dalam sejarah intelektual manusia dan potensi aplikasinya
di masa depan.
Kata Kunci: Teorema,
pembuktian, aplikasi, ilmu pengetahuan, logika deduktif.
PEMBAHASAN
Konsep Teorema dan Aplikasinya dalam Kehidupan
1.
Pendahuluan
1.1.
Pengertian Teorema
Teorema adalah
pernyataan matematis yang telah dibuktikan kebenarannya berdasarkan serangkaian
aturan logika yang konsisten. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani theorema
yang berarti "sesuatu yang dilihat" atau "ditinjau."
Secara sederhana, teorema dapat dianggap sebagai hasil deduksi logis yang
berasal dari aksioma atau teorema lainnya yang telah dibuktikan sebelumnya.¹
Dalam matematika,
teorema memainkan peran sentral sebagai fondasi bagi pengembangan teori yang
lebih kompleks. Sebagai contoh, Teorema Pythagoras dalam geometri
mendasari berbagai aplikasi dalam bidang teknik dan fisika.² Selain itu, teorema tidak hanya terbatas pada
matematika; dalam fisika, misalnya, Teorema Noether menjelaskan
hubungan antara simetri dan hukum kekekalan energi.³
1.2.
Signifikansi Teorema
Teorema memiliki
peran yang sangat penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan karena menjadi
penghubung antara konsep-konsep abstrak dan penerapannya dalam dunia nyata.
Sebagai contoh, dalam ilmu komputer, teorema membantu mengembangkan algoritma
yang optimal dan efisien. Salah satu contoh adalah penggunaan teori bilangan
dalam algoritma kriptografi modern, seperti enkripsi RSA.⁴
Tidak hanya itu,
teorema juga memberikan kerangka berpikir yang sistematis dan logis. Hal ini
menjadikan teorema sebagai alat yang mendukung pola pikir analitis, terutama
dalam pendidikan matematika dan sains. Dengan memahami struktur dan pembuktian
teorema, individu dapat mengasah kemampuan berpikir kritis dan menyelesaikan
masalah yang kompleks.⁵
Secara historis,
teorema juga menunjukkan kemajuan intelektual umat manusia. Misalnya, Elemen
karya Euclid menjadi salah satu buku paling berpengaruh dalam sejarah
matematika, menawarkan kerangka pembuktian logis yang masih relevan hingga hari
ini.⁶ Dengan demikian, memahami dan menguasai teorema tidak hanya bermanfaat
secara praktis, tetapi juga memperkaya pemahaman manusia terhadap dunia.
Catatan Kaki
[1]
Ian Stewart, The Foundations of Mathematics (New
York: Oxford University Press, 2015), 12.
[2]
Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty
(New York: Oxford University Press, 1980), 45.
[3]
Emmy Noether, “Invariante Variationsprobleme,” Nachrichten
von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
Mathematisch-Physikalische Klasse 2, no. 1 (1918): 235–257.
[4]
Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography
(New York: Springer, 1994), 78.
[5]
Keith Devlin, The Language of Mathematics: Making the
Invisible Visible (New York: Henry Holt and Company, 2000), 54.
[6]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L.
Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 1.
2.
Dasar-Dasar Teorema
2.1.
Sejarah dan Perkembangan Konsep Teorema
Konsep teorema
berakar pada tradisi intelektual Yunani Kuno. Salah satu karya paling awal yang
secara sistematis mendokumentasikan teorema adalah Elemen oleh Euclid. Buku ini tidak
hanya menjadi fondasi geometri tetapi juga memperkenalkan metode pembuktian
deduktif yang telah menjadi standar dalam matematika hingga saat ini.¹ Euclid
menyusun teorema-teorema dalam Elemen berdasarkan aksioma yang
sederhana, menciptakan struktur logis yang memungkinkan pembangunan teori yang
lebih kompleks.²
Pada abad
pertengahan, tradisi matematika Islam mengembangkan dan melestarikan teorema
melalui karya-karya seperti Kitab al-Mu'tabar karya Ibn
al-Haytham dan Al-Jabr wa'l-Muqabala karya
Al-Khwarizmi, yang memperkenalkan konsep teorema dalam konteks aljabar.³
Tradisi ini kemudian memengaruhi perkembangan teorema di Eropa selama era
Renaisans, yang ditandai dengan karya-karya matematikawan seperti Isaac Newton
dan Leonhard Euler.⁴
2.2.
Komponen Utama Teorema
Sebuah teorema
terdiri dari tiga komponen utama: pernyataan (statement), hipotesis (premise),
dan konklusi (conclusion). Pernyataan merupakan inti dari teorema yang harus
dibuktikan. Hipotesis adalah kondisi awal atau asumsi yang digunakan dalam
pembuktian, sementara konklusi adalah hasil yang logis berdasarkan hipotesis
tersebut.⁵ Sebagai contoh, dalam Teorema Pythagoras, hipotesisnya
adalah bahwa segitiga tersebut berbentuk siku-siku, sedangkan konklusinya
adalah hubungan kuadrat sisi-sisinya.⁶
Komponen-komponen
ini memastikan bahwa teorema memiliki struktur yang logis dan dapat diuji
kebenarannya. Dalam matematika modern, pendekatan ini menjadi standar untuk
menjamin validitas suatu pernyataan.⁷
2.3.
Sifat-Sifat Teorema
Teorema memiliki
beberapa sifat penting yang menjadikannya alat yang kuat dalam ilmu
pengetahuan:
·
Konsistensi:
Teorema harus konsisten dengan aksioma dan teorema lain dalam sistem yang
sama.⁸
·
Validitas:
Teorema harus dapat dibuktikan dengan logika formal. Proses pembuktian inilah
yang membedakan teorema dari hipotesis.⁹
·
Logisitas:
Teorema bergantung pada alur deduktif yang jelas, tanpa menyisakan ruang untuk
ambiguitas.¹⁰
Sifat-sifat ini
memastikan bahwa teorema dapat diandalkan sebagai fondasi untuk pengembangan
teori-teori baru.
Catatan Kaki
[1]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L.
Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 3.
[2]
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern
Times (New York: Oxford University Press, 1972), 107.
[3]
Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic
and Algebra (London: Kluwer Academic, 1994), 83.
[4]
Carl B. Boyer, A History of Mathematics (New York:
John Wiley & Sons, 1991), 303.
[5]
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics (New
York: Dover Publications, 2015), 45.
[6]
Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty
(New York: Oxford University Press, 1980), 56.
[7]
Keith Devlin, The Language of Mathematics: Making the
Invisible Visible (New York: Henry Holt and Company, 2000), 68.
[8]
Stephen G. Simpson, Subsystems of Second Order Arithmetic
(Cambridge: Cambridge University Press, 2009), 19.
[9]
Alfred Tarski, Introduction to Logic and to the Methodology of
Deductive Sciences (New York: Dover Publications, 1995), 23.
[10]
Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? (Oxford:
Oxford University Press, 1996), 12.
3.
Jenis-Jenis Teorema
3.1.
Teorema Berdasarkan Disiplin Ilmu
Teorema dalam ilmu
pengetahuan dikelompokkan berdasarkan disiplin ilmu tempat ia diterapkan. Dalam
matematika, teorema mendasari berbagai cabang, seperti geometri, aljabar, dan
teori bilangan. Misalnya, Teorema Pythagoras dalam geometri
memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, yang menjadi
dasar bagi perkembangan teori geometri ruang.¹
Dalam fisika, Teorema
Noether memberikan pemahaman mendalam tentang hubungan antara
simetri dalam sistem fisik dan hukum kekekalan, seperti kekekalan energi dan
momentum.² Sedangkan dalam ilmu komputer, teorema seperti Teorema
Kompleksitas Cook-Levin membuktikan bahwa masalah Boolean
satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete, yang menjadi
landasan teori kompleksitas komputasi.³
3.2.
Teorema Berdasarkan Jenis Pembuktian
Teorema dapat
diklasifikasikan berdasarkan metode pembuktiannya, yaitu:
·
Teorema
Konstruktif:
Pembuktiannya memberikan metode
eksplisit untuk membangun objek yang dimaksud. Sebagai contoh, Teorema
Fundamental Aljabar memberikan bukti bahwa setiap persamaan
polinomial memiliki akar dalam bilangan kompleks.⁴
·
Teorema
Eksistensial:
Teorema ini membuktikan keberadaan suatu
objek tanpa memberikan cara eksplisit untuk menemukannya. Contohnya adalah Teorema
Bolzano-Weierstrass, yang menyatakan bahwa setiap urutan terbatas
memiliki sub-urutan yang konvergen.⁵
Jenis pembuktian ini
mencerminkan pendekatan yang berbeda dalam memahami dan menguji validitas suatu
pernyataan matematis.
3.3.
Teorema Berdasarkan Aplikasinya
Berdasarkan
aplikasinya, teorema dapat dibagi menjadi dua jenis utama:
·
Teorema
Teoritis:
Teorema ini berfungsi sebagai dasar bagi
teori yang lebih besar, tanpa aplikasi langsung pada kehidupan sehari-hari.
Sebagai contoh, Teorema Gödel tentang Ketaklengkapan
menunjukkan keterbatasan sistem aksiomatis dalam matematika.⁶
·
Teorema
Terapan:
Teorema ini memiliki aplikasi langsung
dalam memecahkan masalah praktis. Misalnya, Teorema Fourier digunakan dalam
analisis sinyal untuk mengubah fungsi waktu menjadi frekuensi, yang sangat
penting dalam teknologi komunikasi modern.⁷
Klasifikasi ini
menunjukkan bahwa teorema tidak hanya relevan dalam dunia akademis tetapi juga
memiliki dampak nyata dalam kehidupan sehari-hari.
Catatan Kaki
[1]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L.
Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 9.
[2]
Emmy Noether, “Invariante Variationsprobleme,” Nachrichten
von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
Mathematisch-Physikalische Klasse 2, no. 1 (1918): 235–257.
[3]
Stephen A. Cook, “The Complexity of Theorem-Proving Procedures,” Proceedings
of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York:
ACM, 1971), 151–158.
[4]
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis,
3rd ed. (New York: McGraw-Hill, 1976), 125.
[5]
Karl Weierstrass, Mathematische Werke, vol. 2
(Berlin: Mayer & Müller, 1895), 1.
[6]
Kurt Gödel, “Über Formal Unentscheidbare Sätze der Principia
Mathematica und Verwandter Systeme,” Monatshefte für Mathematik und Physik
38, no. 1 (1931): 173–198.
[7]
Jean-Baptiste Joseph Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur
(Paris: Firmin Didot, 1822), 101.
4.
Pembuktian Teorema
4.1.
Metode-Metode Pembuktian
Pembuktian teorema
merupakan proses formal yang menunjukkan kebenaran suatu pernyataan dengan
menggunakan logika dan fakta-fakta yang sudah diketahui sebelumnya. Ada
beberapa metode utama yang digunakan untuk membuktikan teorema:
1)
Pembuktian Langsung
Pembuktian langsung melibatkan deduksi logis
langsung dari hipotesis menuju konklusi. Misalnya, dalam pembuktian bahwa
jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap, langkah-langkah logis
digunakan untuk menunjukkan bahwa sifat genap tetap berlaku.¹
2)
Pembuktian Tidak
Langsung
o Kontradiksi: Dalam metode ini,
diasumsikan bahwa pernyataan yang hendak dibuktikan salah, kemudian ditemukan
kontradiksi dari asumsi tersebut. Sebagai contoh, Teorema Akar-Irasional Pythagoras
membuktikan bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional dengan menggunakan
metode ini.²
o Kontraposisi: Dalam metode ini,
bukti diperoleh dengan menunjukkan bahwa jika konklusi salah, maka hipotesis
juga salah.³
3)
Pembuktian Induksi
Matematika
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan
yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Terdiri dari dua langkah: (1)
menunjukkan bahwa pernyataan berlaku untuk bilangan pertama (basis induksi),
dan (2) menunjukkan bahwa jika pernyataan berlaku untuk bilangan ke-nn, maka ia juga berlaku untuk bilangan ke-n+1n+1 (langkah induksi). Contoh yang terkenal
adalah pembuktian rumus jumlah deret bilangan bulat pertama.⁴
4.2.
Contoh Kasus Pembuktian
Untuk memberikan
pemahaman yang lebih baik, berikut adalah contoh pembuktian teorema:
·
Teorema
Pythagoras:
Pernyataan: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat
panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya.
Pembuktian klasik dilakukan menggunakan konstruksi geometri, di mana area
persegi yang dibentuk di atas sisi-sisi segitiga dibandingkan.⁵
·
Teorema
Fundamental Aljabar:
Pernyataan: Setiap polinomial tak nol dengan
koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks. Pembuktiannya
memanfaatkan analisis kompleks dan sifat-sifat fungsi kontinu.⁶
4.3.
Kesalahan Umum dalam Pembuktian
Kesalahan dalam pembuktian
teorema sering terjadi akibat kurangnya perhatian terhadap logika atau asumsi
yang tidak valid. Berikut adalah beberapa kesalahan yang umum:
·
Kesalahan
Non Sequitur: Konklusi yang tidak mengikuti hipotesis secara
logis.⁷
·
Kesalahan
Sirkular: Menggunakan pernyataan yang akan dibuktikan sebagai
bagian dari pembuktian.⁸
·
Kesalahan
Generalisasi: Menggunakan pembuktian yang hanya berlaku untuk
kasus khusus sebagai dasar untuk menyimpulkan kasus umum.⁹
Menghindari
kesalahan ini memerlukan pemahaman mendalam tentang metode pembuktian dan
perhatian terhadap detail dalam logika deduktif.
Catatan Kaki
[1]
Keith Devlin, Introduction to Mathematical Thinking
(Stanford: Keith Devlin, 2012), 45.
[2]
Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? (Oxford:
Oxford University Press, 1996), 12.
[3]
Alfred Tarski, Introduction to Logic and to the Methodology of
Deductive Sciences (New York: Dover Publications, 1995), 36.
[4]
Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th
ed. (Boston: Cengage Learning, 2016), 89.
[5]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L.
Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 47.
[6]
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis,
3rd ed. (New York: McGraw-Hill, 1976), 195.
[7]
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics (New
York: Dover Publications, 2015), 78.
[8]
Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty
(New York: Oxford University Press, 1980), 122.
[9]
Stephen G. Simpson, Subsystems of Second Order Arithmetic
(Cambridge: Cambridge University Press, 2009), 19.
5.
Aplikasi Teorema dalam Kehidupan
5.1.
Penerapan dalam Pendidikan
Teorema memainkan
peran penting dalam pembelajaran matematika, sains, dan teknologi. Dalam
pendidikan matematika, misalnya, Teorema Pythagoras sering diajarkan
sebagai dasar untuk memahami geometri dan trigonometri.¹ Proses pembuktian
teorema ini tidak hanya mengajarkan konsep geometris tetapi juga melatih siswa
untuk berpikir logis dan analitis.²
Selain itu, pemahaman teorema fundamental seperti Teorema Binomial
membantu siswa memahami pola-pola aljabar dan probabilitas, yang relevan dalam
studi lanjutan dan penerapan praktis.³
5.2.
Aplikasi dalam Sains dan Teknologi
Teorema memberikan
fondasi untuk berbagai inovasi dalam sains dan teknologi. Beberapa contoh
signifikan meliputi:
·
Fisika
dan Teknik:
Teorema Bernoulli digunakan dalam desain
sistem penerbangan dan hidrodinamika untuk menjelaskan hubungan antara
kecepatan fluida dan tekanan.⁴ Teorema Fourier adalah dasar dalam
analisis sinyal, memungkinkan pengolahan data digital seperti suara dan
gambar.⁵
·
Ilmu
Komputer dan Kriptografi:
Dalam ilmu komputer, Teorema Kompleksitas
Cook-Levin menjadi dasar untuk memahami perbedaan antara kelas masalah P
dan NP, yang memengaruhi algoritma dan efisiensi pemrograman.⁶ Teorema
Teori Bilangan, seperti Teorema Fermat Kecil, digunakan dalam
sistem enkripsi modern seperti RSA, yang menjaga keamanan data digital.⁷
·
Matematika
Terapan:
Dalam analisis statistik, Teorema Limit
Tengah memberikan kerangka teoritis untuk membuat prediksi berdasarkan
data sampel, yang sangat penting dalam penelitian ilmiah dan pengambilan
keputusan bisnis.⁸
5.3.
Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari
Teorema juga
memiliki aplikasi praktis dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya:
·
Arsitektur
dan Konstruksi:
Teorema Pythagoras digunakan untuk
memastikan sudut siku-siku dalam pembangunan gedung dan infrastruktur.⁹
·
Keuangan
dan Ekonomi:
Teorema Black-Scholes digunakan untuk
menghitung harga opsi keuangan, yang mendukung pengambilan keputusan
investasi.¹⁰
·
Navigasi
dan GPS:
Teori geometri ruang dan Teorema Trigonometri
Sferis memungkinkan kalkulasi jarak dan arah dalam navigasi, termasuk
teknologi GPS.¹¹
Dengan berbagai
aplikasi ini, teorema menunjukkan relevansinya tidak hanya dalam konteks
teoritis tetapi juga dalam aspek praktis kehidupan.
Catatan Kaki
[1]
Keith Devlin, Introduction to Mathematical Thinking
(Stanford: Keith Devlin, 2012), 55.
[2]
Richard Courant and Herbert Robbins, What Is Mathematics? (Oxford:
Oxford University Press, 1996), 23.
[3]
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics (New
York: Dover Publications, 2015), 45.
[4]
Daniel Bernoulli, Hydrodynamica (Basel: Johann
Reinhold Dulsecker, 1738), 10.
[5]
Jean-Baptiste Joseph Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur
(Paris: Firmin Didot, 1822), 101.
[6]
Stephen A. Cook, “The Complexity of Theorem-Proving Procedures,” Proceedings
of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York:
ACM, 1971), 151–158.
[7]
Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography
(New York: Springer, 1994), 78.
[8]
William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its
Applications (New York: Wiley, 1968), 204.
[9]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L.
Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 47.
[10]
Fischer Black and Myron Scholes, “The Pricing of Options and Corporate
Liabilities,” Journal of Political Economy 81,
no. 3 (1973): 637–654.
[11]
Rudolf F. Grafarend and Joseph L. Awange, Applications of Geometrical and Space Geodesy
(Berlin: Springer, 2012), 89.
6.
Kesimpulan
Teorema adalah salah satu pilar utama dalam
pengembangan ilmu pengetahuan. Dari definisi dan struktur dasar hingga
aplikasinya yang luas, teorema membuktikan relevansi dan signifikansinya baik
dalam bidang teoritis maupun praktis. Sebagai pernyataan yang telah dibuktikan dengan metode logis dan matematis, teorema tidak hanya
memberikan wawasan konseptual tetapi juga menjembatani abstraksi dengan
kenyataan.¹
Sebagai bagian integral dari matematika dan sains,
teorema mendukung perkembangan pengetahuan di berbagai disiplin ilmu. Dalam
pendidikan, teorema membantu mengasah pola pikir logis, melatih keterampilan
deduksi, dan membangun pemahaman mendalam tentang prinsip-prinsip dasar ilmu
pengetahuan.² Teorema seperti Pythagoras dan Fourier telah
menjadi fondasi bagi pengajaran dan penelitian, memberikan kontribusi signifikan terhadap literasi matematis
dan ilmiah.³
Dalam dunia profesional, teorema memainkan peran
penting dalam aplikasi nyata. Misalnya, Teorema Limit Tengah mendukung
pengambilan keputusan berdasarkan analisis data statistik, sementara Teorema
Bernoulli dan Teorema Noether mendorong kemajuan teknologi dalam
penerbangan dan fisika teoretis.⁴ Lebih jauh, teorema juga menjadi landasan
bagi inovasi modern seperti algoritma kriptografi dan teknologi GPS,
menunjukkan relevansinya dalam kehidupan sehari-hari.⁵
Namun, memahami teorema tidak hanya tentang
menghargai aplikasinya tetapi juga menyadari perannya dalam membentuk kerangka
berpikir manusia. Proses pembuktian yang melibatkan logika, konsistensi, dan
presisi mengajarkan nilai-nilai intelektual yang dapat diterapkan dalam
berbagai aspek kehidupan.⁶ Sebagai hasil dari kolaborasi panjang lintas generasi, teorema adalah simbol
pencapaian intelektual umat manusia yang terus berkembang.
Dengan demikian, kajian tentang teorema tidak hanya
bermanfaat bagi mereka yang berkecimpung dalam matematika atau sains tetapi
juga memberikan wawasan universal tentang bagaimana pola pikir deduktif dan
analitis dapat memperbaiki kualitas hidup. Sebagai langkah berikutnya,
eksplorasi lebih mendalam tentang teorema baru dan aplikasinya diharapkan akan
membuka peluang untuk inovasi yang lebih besar di masa depan.⁷
Catatan Kaki
[1]
Richard Courant and Herbert Robbins, What Is
Mathematics? (Oxford: Oxford University Press, 1996), 5.
[2]
Keith Devlin, Introduction to Mathematical
Thinking (Stanford: Keith Devlin, 2012), 77.
[3]
Euclid, The Elements, trans. Thomas L. Heath
(Cambridge: Cambridge University Press, 1956), 31.
[4]
Daniel Bernoulli, Hydrodynamica (Basel:
Johann Reinhold Dulsecker, 1738), 15; William Feller, An Introduction to
Probability Theory and Its Applications (New York: Wiley, 1968), 204.
[5]
Neal Koblitz, A Course in Number Theory and
Cryptography (New York: Springer, 1994), 125; Rudolf F. Grafarend and
Joseph L. Awange, Applications of Geometrical and Space Geodesy (Berlin:
Springer, 2012), 78.
[6]
Alfred Tarski, Introduction to Logic and to the
Methodology of Deductive Sciences (New York: Dover Publications, 1995), 15.
[7]
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics
(New York: Dover Publications, 2015), 203.
Daftar Pustaka
Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica. Basel:
Johann Reinhold Dulsecker.
Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of
options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3),
637–654.
Cook, S. A. (1971). The complexity of
theorem-proving procedures. Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on
Theory of Computing (pp. 151–158). New York: ACM.
Courant, R., & Robbins, H. (1996). What is
mathematics? Oxford: Oxford University Press.
Devlin, K. (2012). Introduction to mathematical
thinking. Stanford: Keith Devlin.
Euclid. (1956). The elements (T. L. Heath,
Trans.). Cambridge: Cambridge University Press.
Feller, W. (1968). An introduction to
probability theory and its applications. New York: Wiley.
Fourier, J.-B. J. (1822). Théorie analytique de
la chaleur. Paris: Firmin Didot.
Grafarend, R. F., & Awange, J. L. (2012). Applications
of geometrical and space geodesy. Berlin: Springer.
Kline, M. (1980). Mathematics: The loss of
certainty. New York: Oxford University Press.
Koblitz, N. (1994). A course in number theory
and cryptography. New York: Springer.
Noether, E. (1918). Invariante variationsprobleme. Nachrichten
von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
Mathematisch-Physikalische Klasse, 2(1), 235–257.
Rudin, W. (1976). Principles of mathematical
analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
Stewart, I. (2015). Concepts of modern
mathematics. New York: Dover Publications.
Tarski, A. (1995). Introduction to logic and to
the methodology of deductive sciences. New York: Dover Publications.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar